CCF-CSP 202104-4 校门外的树dp+因子数集合

Posted 2022-03-21 nefu-ljw

题目链接

http://118.190.20.162/view.page?gpid=T125

思路

对于n=2的情况，假设障碍物位置分别是a[i]和a[j]（i>j），即两个障碍物相邻，中间没有障碍物阻挡，区间长度为a[i]-a[j]，容易想到$ans=f(a[i]-a[j])$，其中$f(x)$函数表示求$x$的因子个数（注意，此处的因子包括1，但不包括$x$自身）。

对于n>2，考虑$O(n^2)$复杂度的dp，则有$dp[i]={\sum }_{j=1}^{i-1}dp[j]\ast calc(i,j)，i>j$，那么$ans=dp[n]$。
其中$calc(i,j)$表示下标分别为i, j(i>j)的两个障碍物之间的方案数。这里由于两个障碍物之间可能还会有若干个障碍物的阻挡，它们把[j, i]分成了若干个小区间，那么在计算时要考虑去除掉中间这若干个小区间的所有因子：具体做法是，倒序枚举j，每次将当前区间长度的所有因子加入集合，同时计入方案数，那么下次枚举更长的区间时（这次是[j, i]，下次是[j-1, i]），如果出现了之前集合中加入的因子，就不计入答案。简而言之，就是用一个set集合来维护[j,i]区间中所有出现过的因子。

由于a[i]最大到1e5，那么可以预处理1e5范围内每个数的所有因子（大概总共1e6个因子，跑一遍没问题）。

100分代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+10,M=1e5,mod=1e9+7;

vector<int>fac[M+10]; // 每个数的所有因子（包括1，不包括它自身）
void get_fac()
	for(int i=1;i<=M/2;i++)
		for(int j=2*i;j<=M;j+=i) // 2*i,...,k*i(<=M)
			fac[j].push_back(i);
		
	


int a[N];
ll dp[N];

unordered_set<int>s; // 比set速度快，因为它有去重，但没有排序
ll calc(int i,int j)
	int x=a[i]-a[j];
	ll ret=0;
	for(int it:fac[x]) // x的所有因子（包括1，不包括它自身）
		if(s.count(it)==0) // 之前集合中没有it这个因子，那么这次就可以取，但下次不能取（加入集合）
			ret++; // 这次可以取
			s.insert(it); // 下次不能取（加入集合）
		
	
	s.insert(x); // 将它自身加入集合（下次不能再取）
	return ret;


int main()
	ios::sync_with_stdio(false);
	get_fac();
	int n; cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		s.clear();
		for(int j=i-1;j>=1;j--)
			dp[i]=(dp[i]+dp[j]*calc(i,j)%mod)%mod;
	
	printf("%lld\\n",dp[n]);
	return 0;

/*
2
1 10
ans: 2

11
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ans: 256507
*/

坑点

想清楚维护因子数集合时要不要算上两个特殊的因子：1，数本身。这里记录方案数时算上1，不算数本身；但是1和数本身都要加入到集合中，因为下次的长区间不能再取这个数了，否则就会撞上中间的障碍物。

参考

https://www.cnblogs.com/lipoicyclic/p/15020078.html