[AGC014F]Strange Sorting

Posted 2022-03-05 StaroForgin

Strange Sorting

题解

首先可以发现，是一定有解的。
我们在第一次移动后肯定可以使得$n$在最后一个位置，第二次移动后一定可以使得$n-1$在倒数第$2$个位置。我们每次操作肯定可以使得某些数回到它原本应该在的位置，所以是一定有解的。

根据上面的考虑，我们可以发现，我们不妨倒着来考虑，因为较小的数不会对较大数的相对顺序产生影响，也不会影响其是否能够移动。所以当我们$(i,n]$的已经有序后，$i$在那里都不会产生影响。
那我们可以定义$t_i$表示我们使得区间$[i,n]$变得有序的最小操作次数。
显然，$t_{i+1}⩽t_i⩽t_{i+1}+1$，但我怎么判断$t_i$该取那一个呢？显然，根据$i$在$t_{i+1}$时刻的位置呗。
求出$i$在$t_{i+1}$时刻的位置，当然就需要知道$t_{i+1}-1$时序列的状况。我们记$[i,n]$在$t_i-1$时刻的序列首位为$f_i$
那么显然，那个时刻$i,i+1,f_{i+1}$的相对关系有$3$种可能，$i,f_{i+1},i+1$，$f_{i+1},i,i+1$，$f_{i+1},i+1,i$。
只有第二种可能会使得$t_i=t_{i+1}$，但即使是$t_{i+1}-1$时刻的序列形状我们也会是不可能维护出来的，但我们知道初始的序列形状啊。
初始序列显然是$i,i+1,f_{i+1}$的某个排列，我们发现这个排列无论怎么操作都会处于一种循环位移的状态，比如$i,i+1,f_{i+1}\to f_{i+1},i,i+1\to i,i+1,f_{i+1}$。
事实上，在$f_{i+1}$处在首位时，能够使得$i$在$f_{i+1}$与$i+1$之间的初始排序只有$3$种$f_{i+1},i,i+1$，$i,i+1,f_{i+1}$，$i+1,f_{i+1},i$。
所以我们通过这三者的初始位置就可以进行转移了。

时间复杂度$O\left(n\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double Ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e5+7;
const int inv2=499122177;
const double jzm=0.999;
const int zero=2000;
const int n1=150;
const int orG=3,ivG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-8;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)putchar('-'),print(-x);if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
LL gcd(LL a,LL b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,a[MAXN],pos[MAXN],f[MAXN],t[MAXN];
signed main()
	read(n);for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),pos[a[i]]=i;
	t[n]=0;f[n]=n;
	for(int i=n-1;i>0;i--)
		if(!t[i+1])
			if(pos[i]<pos[f[i+1]])f[i]=i;
			else t[i]=1,f[i]以上是关于[AGC014F]Strange Sorting的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 学习笔记[AGC044C] Strange Dance
 ACM  Strange fuction
 如何在为音频会议混合音频时自动增益控制 (AGC)
 HDU.2899.Strange fuction(牛顿迭代)
 如何对包含嵌套 JSON 字符串的 NSSArray 进行排序？
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