机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（11）：欧拉图

Posted 2022-02-23 海轰Pro

文章目录

• 前言
• 系列文章
• 6.1 欧拉图
• • 定义 6.1
  • • 巡回
    • 欧拉巡回
    • 欧拉图
    • 欧拉道路
  • 定理 6.1
  • • 推论 6.1
• 结语

前言

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系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（3）：路径与连通

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（7）：连通度

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（8）：割边、割集、割点

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（9）：匹配的概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理

6.1 欧拉图

定义 6.1

设$G=(V,E)$是连通无向图

巡回

经过$G$的每边至少一次闭通路

从起点出发，要求必须回到起点 即终点就是起点

欧拉巡回

经过$G$的每边正好一次都巡回

经过每条边只能为1次 且恰好可以回到起点

欧拉图

存在欧拉巡回的图

欧拉道路

经过$G$的每边正好一次的道路

可以不需要回到起点 只要求经过所有的边且只经过一次

定理 6.1

$G$是非空连通图，则下面命题等价

• $G$是欧拉图
• $G$无齐次顶点
• $G={\bigcup }_{i=1}^d{C}_i,G_i$是圈，且$E(G_i)\cap E(G_j)=\varphi (i\ne j)$

---

证明：$G$是欧拉图 $\Rightarrow$ $G$无齐次顶点

因为$G$是欧拉图，则必然存在一条欧拉巡回

设$W$是$G$中的欧拉巡回，得到

$\forall V\in V(G)$，$v$一定会在$W$上出现

设$v$出现了$k$次

则$d(v)=2k$

即$v$是偶数次的

$v$具有任意性，故$G$是欧拉图 $\Rightarrow$ $G$无齐次顶点

当$v$不是起点或终点时，在欧拉巡回$W$中出现一次则度数一定是2 （前、后必定会连接一个顶点）
当$v$是起点或终点时，度数也是2，因为起点和终点在欧拉巡回中是同一个点
综上，对于$W$中任意一个点，出现一次，度数+2

证明：$G$无齐次顶点 $\Rightarrow$ $G={\bigcup }_{i=1}^d{C}_i,G_i$是圈，且$E(G_i)\cap E(G_j)=\varphi (i\ne j)$

因为$G$无齐次顶点且为非空连通图，可得

$$\delta (G)\ge 2$$

从而$G$中必有圈$C_1$

令$G_1=G-E(C_1)$，则$G_1$中仍然没有奇次顶点

因为圈中任意一个顶点都连接两条边，度数为2
去掉圈中一个点的边相当于度数减2
原图$G$中任意一个点的度数都为偶数，再减去2，依然为偶数
故$G_1=G-E(C_1)$中无奇次顶点

若此时$G_1$中无边，则$G=G_1$，证明完成

若此时$G_1$中还有边，则$G_1$中的每个连通片中必定也是无奇次顶点的

说明$G_1$中连通片也是存在圈的

再去掉$G_1$中的一个圈$C_2$

得到$G_2$

$...........$

经过有限次数的迭代，去除圈

最后一定可以得到一个无边图$G_d$，所以有

$$G=\bigcup _{i=1}^d{C}_i$$

$C_i$是$G$中的一个圈，且$E(G_i)\cap E(G_j)=\varphi (i\ne j,1\le i,j\le d)$

可以理解为：$G$是由有限个圈$C_i$构成 且这些圈之间都没有边交集

证明：$G={\bigcup }_{i=1以上是关于机器学习｜数学基础Mathematics\; for\; Machine\; Learning系列之图论（11）：欧拉图的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$

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