数据结构与算法之深入解析“不同路径”的求解思路与算法示例

Posted 2022-02-19 Serendipity·y

一、题目要求

• 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ），机器人每次只能向下或者向右移动一步，机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ），问总共有多少条不同的路径？
• 示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

• 示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

• 示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

• 示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

• 提示：
• • 1 <= m, n <= 100；
• • 题目数据保证答案小于等于 2 * 109。

二、求解算法

① 动态规划

• 用 f(i,j) 表示从左上角走到 (i,j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0,m) 和 [0,n)。由于每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i,j)，如果向下走一步，那么会从 (i−1,j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i,j−1) 走过来。
• f[i,j] 表示从 (0,0) 走到 (i,j) 的所有不同路径的方案数，那么，f[m-1][n-1] 就表示从网格左上角到网格右下角的所有不同路径的方案数，即为答案：

• 由于限制了只能向下走或者向右走，因此到达 (i,j) 有两条路径：
• • 从上方转移过来，f[i][j] = f[i-1][j]；
• • 从左方转移过来，f[i][j] = f[i][j-1]；
• 因此可以写出动态规划转移方程，将向右和向下两条路径的方案数相加起来：

• 需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i−1,j) 并不是一个满足要求的状态，需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j−1) 并不是一个满足要求的状态，也需要忽略这一项。
• 初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法，从 (0,0) 到达 (0,0) 只有一条路径：

• 最终的答案即为 f(m−1,n−1)。
• 为了方便代码编写，可以将所有的 f(0,j) 以及 f(i,0) 都设置为边界条件，它们的值均为 1。
• Java 示例：

class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) 
            f[i][0] = 1;
        
        for (int j = 0; j < n; ++j) 
            f[0][j] = 1;
        
        for (int i = 1; i < m; ++i) 
            for (int j = 1; j < n; ++j) 
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            
        
        return f[m - 1][n - 1];
    

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));
        for (int i = 0; i < m; ++i) 
            f[i][0] = 1;
        
        for (int j = 0; j < n; ++j) 
            f[0][j] = 1;
        
        for (int i = 1; i < m; ++i) 
            for (int j = 1; j < n; ++j) 
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            
        
        return f[m - 1][n - 1];
    
;

② 组合数学

• 从左上角到右下角的过程中，需要移动 m+n−2 次，其中有 m−1 次向下移动，n−1 次向右移动，因此路径的总数，就等于从 m+n−2 次移动中选择 m−1 次向下移动的方案数，即组合数：

• 因此直接计算出这个组合数即可，计算的方法有很多种：
• • 如果使用的语言有组合数计算的 API，可以调用 API 计算；
• • 如果没有相应的 API，可以使用如下方式计算：

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
        long long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) 
            ans = ans * x / y;
        
        return ans;
    
;

• Java 示例：

class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) 
            ans = ans * x / y;
        
        return (int) ans;
    

③ 递归

• 由于机器人每次只能向下或者向右移动一步，对于位置 (i,j) 来说，如果要再次移动，只有往右走、或者往下走：
• • 往右：i 不动，j+1；
• • 往下：j+1，i 不动；

• 那么从 (0,0) 出发，走到 (m,n) 的所有路径，应该是由两条路线加起来的：
• • 从 (0,0) 为起点，往右的所有路径；
• • 从 (0,0) 为起点，往下的所有路径。
• 把上面的加起来即为总路径，因此递归的核心逻辑就是:

result = dfs(i + 1, j) + dfs(i, j + 1)

• 递归的核心逻辑已经写出来，但还少了递归的终止条件，那么什么时候终止呢？就是到达边界时，会触发递归终止，然后返回，终止条件就是当移动到最右边一列、或者最下一行时。

• 也就是当 i == m - 1 时，或者 j == n - 1 时，递归返回：

• 到达边界时，返回 1 即可，如果是位于第一列，那么无论怎么往下，都只有一条路可以走；同理如果位于第一行，往右也只有一条路可以走。
• 当然这题用纯用递归是不行的，因为有大量的重复调用会导致超时，如下图所示，起点为 (0,0) 时，会有大量重复调用：

• Java 示例：

class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        return dfs(new HashMap<Pair,Integer>(), 0, 0, m, n);
    

    private int dfs(Map<Pair,Integer> cache, int i, int j, int m, int n) 
        Pair p = new Pair(i,j);
        // 如果(i,j)在缓存中则直接返回
        if(cache.containsKey(p)) 
            return cache.get(p);
        
        // 到达边界时，返回 1
        if(i == m - 1 || j == n - 1) 
            return 1;
        
        // 继续递归调用，往下i+1，往右j+1
        cache.put(p, dfs(cache, i + 1, j, m, n) + dfs(cache, i, j + 1, m, n) );
        return cache.get(p);