柳小葱的力扣之路——动态规划详解

Posted 2022-02-08 柳小葱

🌰今天写的这篇动态规划，算是对上一篇的补充，在上一篇的动态规划中，我们主要讲述了动态规划的基本概念和在一些简单题的应用，在这一期中，我们将详细讲述，动态规划适合求解那一类问题？和递归有啥不同？求解动态规划问题的套路是什么？对上一期内容感兴趣的小伙伴可以查看下面👇:

• 链接: python数据结构之动态规划.

💝我们主要将从套路出手，解决一一些算法题中常见的动态规划问题。希望看完之后，让给你对动态规划有更深的理解。

1. 动态规划的套路

动态规划的求解的套路主要有下面三个步骤：

1. 找到问题的状态 i
2. 明确dp[i]数组的含义
3. 寻找状态i ，i-1，…之间的关系

碰见动态规划问题，最好从以上三个部分下手，因为这样子能够很好的抓住动态规划的本质。

还需要注意的是，动态规划求解方法主要分为以下3种：

1. 暴力的递归解法
2. 带记录的递归解法
3. 迭代的动态规划求解法

2. 动态规划详解

在算法题中，动态规划问题的一般形式就是求最值。比如说让你求最长递增子序列呀，最小编辑距离呀等等。解决动态规划的核心问题是穷举，我们穷举出所有的答案，再在其中寻找最值即可，但穷举的时候需要注意下面几个问题：

1. 问题存在大量重复的计算，暴力穷举效率低下
2. 具备最优子结构
3. 列出正确的状态转移方程

在这些问题中如何写出正确的状态转移方程是最需要注意的问题。

斐波那契数列指的是这样一个数列：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

我们一般用递归实现的方式：

def fei(n):
    if n==1 or n==2:
        return 1
    return fei(n-1)+fei(n-2)

遇到递归问题，最好画出递归树：

我们发现，在计算f(19)和f(18)时，会出现f(17)重复计算的情况，把这棵树画完整，我们会发现大量重复计算的节点。于是，这就出现了动态规划问题的第一个特点：重叠子问题。

既然每次计算都需要进行大量重复的工作，那我们可以创建一个记录表，对需要计算的子问题先去记录表中寻找答案，如果没有，再利用记录已有的数据直接进行计算。

#动态规划算法
def fei(n):
    dp=[0 for i in range(n)]#记录表记录已经计算过的节点，避免了重复的计算
    dp[0]=1
    dp[1]=1
    i=2
    while i < n:
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
        i+=1
    return dp[n-1]

我利用记录表大幅度减少了重复计算的开销，并且我是从n=3开始从小到大依次计算结果，直接返回值。这就延伸出递归和动态规划的差别：

1. 递归是‘从上到下’，递归就像是我们刚才画的树结构，从根节点不断分支，一直到触底，然后再逐层返回结果。
2. 动态规划直‘从下到上’，动态规划是从最底层的问题开始计算，一直往上推，由循环迭代计算，得出我们想要的答案。

在上述动态规划的解法中：$$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$$即为状态转移方程。这是动态规划最为重要的东西，能写出动态转移方程，即可完成动态规划。

在上述斐波那契数列中，我们缺少了动态规划中一个比较重要的要素：最优子结构（最值问题），因为斐波那契数列中不存在求最值问题。

那我们来看一下这一题：
leetcode332 : 零钱问题.

题目描述如下：

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

我们按照步骤，寻找求解这道题的思路：

• 需要寻找最少组成金额的硬币数dp[i]
• 我们通过比较 硬币数dp[i- coin]+1 和dp[i]中最小的硬币个数$$dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)$$ 这里有个需要注意的地方，一般情况下的动态规划是从dp[1],dp[2],dp[3]一个一个往上推，但是在数硬币这里，当coin=[5,6],amount=11时，我们只要dp[11]=min(dp[5]+1,inf)，不需要求解dp[10],求解的dp[i]与coin的面值有关系,如图：
  

def coinChange(coins, amount):
		#创建一个记录表
        dp=[float('inf') for i in range(amount+1)]
        dp[0]=0
        #这里的状态转移方程比较特殊只求coin面额间隙的dp[i]
        for c in coins:
            for i in range(c,amount+1):
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-c]+1)
        #还是无穷，就返回-1
        return dp[amount] if dp[amount]!=float('inf') else -1

3.最优子结构与dp数组

这一部分，我们主要讲述最优子结构是什么？以及$dp[]$数组应该如何遍历？

3.1 最优子结构

经过上面的例题，大家可能有点感觉，我要求组成11元的最小硬币数，我就要分别求10元、9元、6元的最小硬币数，是的，最优子结构可以理解为：可以从子问题的最优结果中推出更大规模的最优问题。

再比如青蛙上台阶的问题，上10节台阶，每次只能上1步或者2步，有多种走法，当我们求dp[10]时，只需要知道dp[9]和dp[8]即可，因为10节台阶，就是由9节上一节，以及8节上2节即可完成。

机器人寻路问题也类似！

3.2 dp[]的遍历方法

在动态规划中，$dp[i]$是存储某个状态的数组，但是dp数组的遍历方向有很多种方式：1. 正向遍历 2. 反向遍历 3. 斜着遍历

$dp[i]$的遍历方式和你对$dp[i]$所设置的状态有关，所以你只需要记住几个关键问题：

• 遍历的过程中，所有的状态必须是已经计算出来的
• 遍历的终点，必须是存储结果的那个位置。

对于一维数组来说，大多数的问题都是从左到右遍历，但对于二维数组来说，如何遍历才能使所有数据计算完毕？这需要我们多加练习，才能深入了解，各种遍历方式的优缺点。

4. 参考文章

《大话数据结构》
《算法小抄》
《python数据结构》