[300iq]Bitwise Xor

Posted 2022-02-06 StaroForgin

Bitwise Xor

题解

首先我们可以发现一个性质，若$x<y<z$，那么一定有$x\oplus z⩾\min (x\oplus y,y\oplus z)$。
这个结论可以从二进制的角度分析$x\oplus y$与$y\oplus z$的异或过程得出。
显然二进制的比较可以从高位到低位依次比较。
如果$x\oplus y$与$y\oplus z$在这一位上都是$0$，显然，$x\oplus z$有这两种异或起来也应该是$0$，这个位置两者没有区别，我们会继续往下比较，这部分也象征着$x,y,z$在这前面几位都是一样的。
若$x\oplus y$与$y\oplus z$其中有一个$1$，那么$x\oplus z$这一位也应该是$1$，比是$0$的那一个大，此时便已经符合我们的条件了。
若$x\oplus y$与$y\oplus z$两个都是$1$，要么$y$在这一位上为$1$，$x,z$在这一位上为$0$，要么反过来，$x,z$为$1$，$y$为$0$。
但由于$z>y$，所以$z$肯定在前面的某一位比$y$大，故它应该在之前就进入了前一种情况，不会比较到这里，第一种方案被否决。
同理$y>x$，第$2$种方案也被否决。
所以它们一定会在第$2$种情况决出胜负，所以一定有上面的条件成立。

有了上面的性质，我们可以发现，如果我们已经有了一个满足答案的集合$S$，那么$w$只要与$S$中离它最近的两个数异或起来比$x$大，那么它一定与$S$中所有数异或起来都比$x$大。
$2$个数显然不好记录，但我们可以从小到大依次加入$a_i$，这样的话每次加入的$a_i$一定是最大的，只需要与集合中最大的一个数比较大小，只要与这个数异或起来大于$x$就行了。
我们记$d{p}_i$表示最大值为$a_i$的合法集合的个数，我们转移$d{p}_j$时，只需要找到$a_j\oplus a_i⩾x$的所有$a_i$，加上$d{p}_i$的和就可以转移了。
显然找到$a_i\oplus a_j⩾x$的$d{p}_i$和可以使用$Trie$树上，每次只会查询一条链，再将新的插入进去即可。

时间复杂度$O\left(n\log a\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 300005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=20000;
const int n1=1000;
const int M=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)x=(~x)+1;putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,root,dp[MAXN],ans;LL X,a[MAXN];
struct mingint sum,ch[2];;
class TrieTree
	private:
		ming tr[MAXN*70];int tot;
	public:
		void insert(int &rt,int dp,LL val,int aw)
			if(!rt)rt=++tot;Add(tr[rt].sum,aw,mo);if(dp<0)return ;
			insert(tr[rt].ch[(val>>dp)&1LL],dp-1,val,aw);
		
		int query(int &rt,int dp,LL val)
			if(!rt)return 0;if(dp<0)return tr[rt].sum;
			int res=0,typ=(int)((val>>dp)&1LL);
			if((X>>dp)&1LL)Add(res,query(tr[rt].ch[typ^1],dp-1,val),mo);
			else Add(res,tr[tr[rt].ch[typ^1]].sum,mo),
				Add(res,query(tr[rt].ch[typ],dp-1,val),mo);
			return res;
		
T;
signed main()
	read(n);read(X);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i带有 ufunc bitwise_xor 的 TypeError

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