随机过程13 - 过滤泊松的应用
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了随机过程13 - 过滤泊松的应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
过滤泊松过程的应用
1. 公交车调度问题
我们下面举例一个公交车站的例子。我们假设(0,T)要发n辆公交车，我们假设公交车发车的时间的确定的，但是不一定相同。乘客们按照泊松过程到达车站，我们假定公交车一出发，就能够把车站所有人都带走。我们要给出一个最优调度方案，让乘客总的等待时间的均值最小。我们假设等待过程中，乘客到来的强度是相同的。
Bus Stop [ 0 , T ] n buses T 1 , T 2 , . . . , T n ⇒ d e t e r m i n i s t i c Persons P o i s s o n λ min Total Waiting Time \\textBus Stop \\\\ [0,T] \\quad n \\text buses \\quad T_1,T_2,...,T_n \\Rightarrow deterministic\\\\ \\textPersons \\quad Poisson \\quad \\lambda \\\\ \\textmin Total Waiting Time Bus Stop[0,T]n buses T1,T2,...,Tn⇒deterministicPersonsPoissonλmin Total Waiting Time
我们来对总的等待时间进行建模。因为每次来车的时候，就把所有人都带走了，所以，我们只需要考虑一次发车的时候的情况即可。
我们假设T时刻公交车发车，N(T)表示T时刻内到达乘客的数量，τk表示第k个乘客到达的时间，因此，乘客总的等待时间可以表示为
Z ( T ) = ∑ k = 1 N ( T ) ( T − τ k ) Z(T)=\\sum_k=1^N(T)(T- \\tau_k) Z(T)=k=1∑N(T)(T−τk)
这是个典型的过滤泊松过程。因为，依赖于事件发生的次数N(t)和事件发生的时刻τk
对比一下前面得到的过滤泊松的模样
Z ( t ) = ∑ k = 1 N ( t ) B ( t , S k ) Z(t)=\\sum_k=1^N(t) B(t,S_k) Z(t)=k=1∑N(t)B(t,Sk)
计算过滤泊松均值是有公式的
E ( Z ( t ) ) = λ ∫ 0 t B ( t , τ ) d τ = λ ∫ 0 t ( t − τ ) d τ = λ t 2 2 E(Z(t)) = \\lambda \\int_0^t B(t,\\tau) d\\tau \\\\ = \\lambda \\int_0^t (t-\\tau) d\\tau \\\\ = \\frac\\lambda t^22 E(Z(t))=λ∫0tB(t,τ)dτ=λ∫0t(t−τ)dτ=2λt2
这里我们不用均值计算公式，采用直接计算的方法
E
(
Z
(
T
)
)
=
E
(
∑
k
=
1
N
(
T
)
(
T
−
τ
k
)
)
E(Z(T)) = E(\\sum_k=1^N(T)(T- \\tau_k))
E(Z(T))=E(k=1∑N(T)(T−τk))
用条件均值的方法
E ( Z ( T ) ) = E N ( T ) ( E τ k ( ∑ k = 1 n ( T − τ k ) ∣ N ( T ) = n ) ) E(Z(T)) = E_N(T)(E_\\tau_k(\\sum_k=1^n(T- \\tau_k)|N(T)=n)) E(Z(T))=EN(T)(Eτk(k=1∑n(T−τk)∣N(T)=n))
本来限制住事件发生的次数求事件发生时刻应该是个顺序统计量的问题，也就是需要知道k个事件发生时刻的联合分布，然后再求均值，但是由于这里是求和，求和的话，顺序统计量的和与本来的随机变量的和的分布是一样的。
Z 1 , . . . , Z n ↔ Z ( 1 ) , . . . , Z ( n ) ∑ i = 1 n Z i ∼ ∑ i = 1 n Z ( i ) Z_1,...,Z_n \\leftrightarrow Z_(1),...,Z_(n) \\\\ \\sum_i=1^n Z_i \\sim \\sum_i=1^n Z_(i) Z1,...,Zn↔Z(1),...,Z(n)i=1∑nZi∼i=1∑nZ(i)
因此
E ( ∑ i = 1 n Z i ) = E ( ∑ i = 1 n Z ( i ) ) E(\\sum_i=1^n Z_i) = E(\\sum_i=1^n Z_(i) ) E(i=1∑nZi)=E(i=1∑nZ(i))
因此，这些顺序统计量的联合分布，可以看做是n个独立同分布的均匀分布
我们可以回忆一下n个独立同分布的均匀分布的均值是多少
X
∼
U
(
0
,
T
)
Y
∼
U
(
0
,
T
)
f
X
(
x
)
=
1
T
f
Y
(
y
)
=
1
T
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
1
T
2
E
(
X
)
=
∫
0
T
x
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
T
2
2
E
(
Y
)
=
∫
0
T
y
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
T
2
2
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
=
2
∗
T
2
2
⇒
E
(
X
1
+
X
2
+
.
.
.
+
X
n
)
=
T
2
n
X \\sim U(0,T) \\quad Y \\sim U(0,T) \\\\ f_X(x) = \\frac1T \\quad f_Y(y) = \\frac1T\\\\ f_X,Y(x,y) = \\frac1T^2 \\\\ E(X) = \\int_0^T x f_X,Y(x,y) dxdy = \\fracT^22 \\\\ E(Y) = \\int_0^T y f_X,Y(x,y) dxdy = \\fracT^22 \\\\ E(X)+ E(Y) = 2*\\fracT^22 \\\\ \\Rightarrow E(X_1 +X_2 + ... +X_n) = \\fracT2n
X∼U(0,T)Y∼U(0,T)fX(x)=T1fY(y)=T1fX,Y(x,y)=T21E(X)=∫0Txf随机过程13 - 过滤泊松的应用