C语言每日一练 —— 第19天：二叉堆

Posted 2022-02-06 英雄哪里出来

前言

  在之前的文章 「 二叉搜索树 」 中，对于 「 增 」「 删 」「 改 」「 查 」 的时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$ ~ $O(n)$。原因是最坏情况下，二叉搜索树会退化成 「 线性表 」 。更加确切地说，树的高度决定了它插入、删除和查找的时间复杂度。
  本文，我们就来聊一下一种高度始终能够接近 $O(lo{g}_{2}n)$ 的 「 树形 」 的数据结构，它能够在 $O(1)$ 的时间内，获得 关键字 最大（或者最小）的元素。并且能够在 $O(lo{g}_{2}n)$ 的时间内执行插入和删除，一般用来做 优先队列 的实现。它就是：

「 二叉堆 」

文章目录

• 前言
• 一、堆的概念
• • 1、概述
  • 2、定义
  • 3、性质
  • 4、作用
• 二、堆的存储结构
• • 1、根结点编号
  • 2、孩子结点编号
  • 3、父结点编号
  • 4、数据域
  • 5、堆的数据结构
• 三、堆的常用接口
• • 1、元素比较
  • 2、交换元素
  • 3、空判定
  • 4、满判定
  • 5、上浮操作
  • 6、下沉操作
• 四、堆的创建
• • 1、算法描述
  • 2、动画演示
  • 3、源码详解
• 五、堆元素的插入
• • 1、算法描述
  • 2、动画演示
  • 3、源码详解
• 五、堆元素的删除
• • 1、算法描述
  • 2、动画演示
  • 3、源码详解

一、堆的概念

1、概述

  堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。实现有很多，例如：大顶堆，小顶堆，斐波那契堆，左偏堆，斜堆 等等。从子结点个数上可以分为二叉堆，N叉堆等等。本文将介绍的是 二叉堆。

2、定义

  二叉堆本质是一棵完全二叉树，所以每次元素的插入删除都能保证 $O(lo{g}_{2}n)$。根据堆的偏序规则，分为 小顶堆 和 大顶堆。小顶堆，顾名思义，根结点的关键字最小；大顶堆则相反。如图所示，表示的是一个大顶堆。

3、性质

  以大顶堆为例，它总是满足下列性质：
  1）空树是一个大顶堆；
  2）大顶堆中某个结点的关键字 小于等于 其父结点的关键字；
  3）大顶堆是一棵完全二叉树。有关完全二叉树的内容，可以参考：画解完全二叉树。
如下图所示，任意一个从叶子结点到根结点的路径总是一个单调不降的序列。

  小顶堆只要把上文中的 小于等于 替换成 大于等于 即可。

4、作用

  还是以大顶堆为例，堆能够在 $O(1)$ 的时间内，获得 关键字 最大的元素。并且能够在 $O(lo{g}_{2}n)$ 的时间内执行插入和删除。一般用来做 优先队列 的实现。

二、堆的存储结构

  学习堆的过程中，我们能够学到一种新的表示形式。就是：利用 数组 来表示 链式结构。怎么理解这句话呢？
  由于堆本身是一棵完全二叉树，所以我们可以把每个结点，按照层序映射到一个顺序存储的数组中，然后利用每个结点在数组中的下标，来确定结点之间的关系。
  如图所示，描述的是堆结点下标和结点之间的关系，结点上的数字代表的是 数组下标。从左往右按照层序进行连续递增。

1、根结点编号

  根结点的编号，看作者的喜好。可以用 0 或者 1。本文的作者是 C语言 出身，所以更倾向于选择 0 作为根结点的编号（因为用 1 作为根结点编号的话，数组的第 0 个元素就浪费了）。
  我们可以用一个宏定义来实现它的定义，如下：

#define root 0

2、孩子结点编号

  那么，根结点的两个左右子树的编号，就分别为 1 和 2 了。以此类推，按照层序进行编号的话，1 的左右子树编号为 3 和 4；2 的左右子树编号为 5 和 6。
  根据数学归纳法，对于编号为 $i$ 的结点，它的左子树编号为 $2i+1$，右子树编号为 $2i+2$。用宏定义实现如下：

#define lson(idx) (2*idx+1)
#define rson(idx) (2*idx+2)

  由于这里涉及到乘 2，所以我们还可以用左移位运算来优化乘法运算，如下：

#define lson(idx) (idx << 1|1)
#define rson(idx) ((idx + 1) << 1)

3、父结点编号

  同样，父结点编号也可以通过数学归纳法得出，当结点编号为 $i$ 时，它的父结点编号为 $\frac{i-1}{2}$，利用C语言实现如下：

#define parent(idx) ((idx - 1) / 2)

  这里涉及到除 2，可以利用右移运算符进行优化，如下：

#define parent(idx) ((idx - 1) >> 1)

  这里利用补码的性质，根结点的父结点得到的值为 -1；

4、数据域

  堆数据元素的数据域可以定义两个：关键字 和 值，其中关键字一般是整数，方便进行比较确定大小关系；值则是用于展示用，可以是任意类型，可以用typedef struct进行定义如下：

typedef struct 
    int key;      // (1)
    void *any;    // (2)
DataType;

• $(1)$ 关键字；
• $(2)$ 值，定义成一个空指针，可以用来表示任意类型；

5、堆的数据结构

  由于堆本质上是一棵完全二叉树，所以将它一一映射到数组后，一定是连续的。我们可以用一个数组来代表一个堆，在C语言中的数组拥有一个固定长度，可以用一个Heap结构体表示如下：

typedef struct 
    DataType *data;  // (1)
    int size;        // (2)
    int capacity;    // (3)
Heap;

• $(1)$ 堆元素所在数组的首地址；
• $(2)$ 堆元素个数；
• $(3)$ 堆的最大元素个数；

三、堆的常用接口

1、元素比较

  两个堆元素的比较可以采用一个比较函数compareData来完成，比较过程就是对关键字key进行比较的过程，以大顶堆为例：
  a. 大于返回 -1，代表需要执行交换；
  b. 小于返回 1，代表需要执行交换；
  c. 等于返回 0，代表需要执行交换；

int compareData(const DataType* a, const DataType* b) 
    if(a->key > b->key) 
        return -1;
    else if(a->key < b->key) 
        return 1;
    
    return 0;

2、交换元素

  交换两个元素的位置，也是堆这种数据结构中很常见的操作，C语言实现也比较简单，如下：

void swap(DataType* a, DataType* b) 
    DataType tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;

  更加详细的内容，可以参考：《算法零基础100讲》(第16讲) 变量交换算法 这篇文章。

3、空判定

  空判定是一个查询接口，即询问堆是否是空的，实现如下：

bool HeapIsEmpty(Heap *heap) 
    return heap->size == 0;

4、满判定

  满判定是一个查询接口，即询问堆是否是满的，实现如下：

bool heapIsFull(Heap *heap) 
    return heap->size == heap->capacity;

5、上浮操作

  对于大顶堆而言，从它叶子结点到根结点的元素关键字一定是单调不降的，如果某个元素出现了比它的父结点大的情况，就需要进行上浮操作。
  上浮操作就是对 当前结点 和 父结点 进行比较，如果它的关键字比父结点大（compareData返回-1的情况），将它和父结点进行交换，继续上浮操作；否则，终止上浮操作。
  如图所示，代表的是一个关键字为 95 的结点，通过不断上浮，到达根结点的过程。上浮完毕以后，它还是一个大顶堆。

  上浮过程的 C语言 实现如下：

void heapShiftUp(Heap* heap, int curr)                // (1)
    int par = parent(curr);                            // (2)
    while(par >= root)                                // (3)
        if( compareData( &heap->data[curr], &heap->data[par] ) < 0 ) 
            swap(&heap->data[curr], &heap->data[par]); // (4) 
            curr = par;
            par = parent(curr);
        else 
            break;                                     // (5) 
        
    

• $(1)$ heapShiftUp这个接口是一个内部接口，所以用小写驼峰区分，用于实现对堆中元素进行插入的时候的上浮操作；
• $(2)$ curr表示需要进行上浮操作的结点在堆中的编号，par表示curr的父结点编号；
• $(3)$ 如果已经是根结点，则无须进行上浮操作；
• $(4)$ 子结点的关键字 大于 父结点的关键字，则执行交换，并且更新新的 当前结点 和 父结点编号；
• $(5)$ 否则，说明已经正确归位，上浮操作结束，跳出循环；

6、下沉操作

  对于大顶堆而言，从它 根结点 到 叶子结点 的元素关键字一定是单调不增的，如果某个元素出现了比它的某个子结点小的情况，就需要进行下沉操作。
  下沉操作就是对 当前结点 和 关键字相对较小的子结点 进行比较，如果它的关键字比子结点小，将它和这个子结点进行交换，继续下沉操作；否则，终止下沉操作。
  如图所示，代表的是一个关键字为 19 的结点，通过不断下沉，到达叶子结点的过程。下沉完毕以后，它还是一个大顶堆。

  下沉过程的 C语言 实现如下：

void heapShiftDown(Heap* heap, int curr)             // (1)
    int son = lson(curr);                             // (2)

    while(son < heap->size) 
        if( rson(curr) < heap->size ) 
            if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) 
                son = rson(curr);                     // (3) 
                    
        
        if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) 
            swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4)
            curr = son;
            son = lson(curr);
        else 
            break;                                     // (5) 
        
    

• $(1)$ heapShiftDown这个接口是一个内部接口，所以用小写驼峰区分，用于对堆中元素进行删除的时候的下沉调整；
• $(2)$ curr表示需要进行下沉操作的结点在堆中的编号，son表示curr的左儿子结点编号；
• $(3)$ 始终选择关键字更小的子结点；
• $(4)$ 子结点的值小于父结点，则执行交换；
• $(5)$ 否则，说明已经正确归位，下沉操作结束，跳出循环；

四、堆的创建

1、算法描述

  通过给定的数据集合，创建堆。可以先创建堆数组的内存空间，然后一个一个执行堆的插入操作。插入操作的具体实现，会在下文继续讲解。

2、动画演示

3、源码详解

Heap* HeapCreate(DataType *data, int dataSize, int maxSize)     // (1)
    int i;
    Heap *h = (Heap *)malloc( sizeof(Heap) );                    // (2)
    h->data = (DataType *)malloc( sizeof(DataType) * maxSize );  // (3)
    h->size = 0;                                                 // (4)
    h->capacity = maxSize;                                       // (5)

    for(i = 0; i < dataSize; ++i) 
        HeapPush(h, data[i]);                                    // (6)
    
    return h;                                                    // (7)

• $(1)$ 给定一个元素个数为dataSize的数组data，创建一个最大元素个数为maxSize的堆并返回堆的结构体指针；
• $(2)$ 利用malloc申请堆的结构体的内存；
• $(3)$ 利用malloc申请存储堆数据的数组的内存空间；
• $(4)$ 初始化空堆；
• $(5)$ 初始化堆最大元素个数为maxSize；
• $(6)$ 遍历数组执行堆的插入操作，插入的具体实现HeapPush接下来会讲到；
• $(7)$ 最后，返回堆的结构体指针；

五、堆元素的插入

1、算法描述

  堆元素的插入过程，就是先将元素插入堆数组的最后一个位置，然后执行上浮操作；

2、动画演示

3、源码详解

bool HeapPush(Heap* heap, DataType data) 
    if( heapIsFull(heap) ) 
        return false;                  // (1)
    
    heap->data[ heap->size++ ] = data; // (2)
    heapShiftUp(heap, heap->size-1);   // (3)
    return true;

• $(1)$ 堆已满，不能进行插入；
• $(2)$ 插入堆数组的最后一个位置；
• $(3)$ 对最后一个位置的 堆元素 执行上浮操作；

五、堆元素的删除

1、算法描述

  堆元素的删除，只能对堆顶元素进行操作，可以将数组的最后一个元素放到堆顶，然后对堆顶元素进行下沉操作。

2、动画演示

3、源码详解

bool HeapPop(Heap *heap) 
    if(HeapIsEmpty(heap)) 
        return false;                               // (1)
    
    heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ];  // (2)
    heapShiftDown(heap, root);                      // (3)
    return true;

• $(1)$ 堆已空，无法执行删除；
• $(2)$ 将堆数组的最后一个元素放入堆顶，相当于删除了堆顶元素；
• $(3)$ 对堆顶元素执行下沉操作；

  

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