C语言每日一练 —— 第19天:二叉堆

Posted 英雄哪里出来

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了C语言每日一练 —— 第19天:二叉堆相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

前言

  在之前的文章 二叉搜索树 中,对于 「 增 」「 删 」「 改 」「 查 」 的时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) ~ O ( n ) O(n) O(n)。原因是最坏情况下,二叉搜索树会退化成 「 线性表 」 。更加确切地说,树的高度决定了它插入、删除和查找的时间复杂度。
  本文,我们就来聊一下一种高度始终能够接近 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)「 树形 」 的数据结构,它能够在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间内,获得 关键字 最大(或者最小)的元素。并且能够在 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的时间内执行插入和删除,一般用来做 优先队列 的实现。它就是:

「 二叉堆 」


一、堆的概念

1、概述

  堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。实现有很多,例如:大顶堆,小顶堆,斐波那契堆,左偏堆,斜堆 等等。从子结点个数上可以分为二叉堆,N叉堆等等。本文将介绍的是 二叉堆。

2、定义

  二叉堆本质是一棵完全二叉树,所以每次元素的插入删除都能保证 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。根据堆的偏序规则,分为 小顶堆 和 大顶堆。小顶堆,顾名思义,根结点的关键字最小;大顶堆则相反。如图所示,表示的是一个大顶堆。

3、性质

  以大顶堆为例,它总是满足下列性质:
  1)空树是一个大顶堆;
  2)大顶堆中某个结点的关键字 小于等于 其父结点的关键字;
  3)大顶堆是一棵完全二叉树。有关完全二叉树的内容,可以参考:画解完全二叉树
如下图所示,任意一个从叶子结点到根结点的路径总是一个单调不降的序列。

  小顶堆只要把上文中的 小于等于 替换成 大于等于 即可。

4、作用

  还是以大顶堆为例,堆能够在 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间内,获得 关键字 最大的元素。并且能够在 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n) 的时间内执行插入和删除。一般用来做 优先队列 的实现。

二、堆的存储结构

  学习堆的过程中,我们能够学到一种新的表示形式。就是:利用 数组 来表示 链式结构。怎么理解这句话呢?
  由于堆本身是一棵完全二叉树,所以我们可以把每个结点,按照层序映射到一个顺序存储的数组中,然后利用每个结点在数组中的下标,来确定结点之间的关系。
  如图所示,描述的是堆结点下标和结点之间的关系,结点上的数字代表的是 数组下标。从左往右按照层序进行连续递增。

1、根结点编号

  根结点的编号,看作者的喜好。可以用 0 或者 1。本文的作者是 C语言 出身,所以更倾向于选择 0 作为根结点的编号(因为用 1 作为根结点编号的话,数组的第 0 个元素就浪费了)。
  我们可以用一个宏定义来实现它的定义,如下:

#define root 0

2、孩子结点编号

  那么,根结点的两个左右子树的编号,就分别为 1 和 2 了。以此类推,按照层序进行编号的话,1 的左右子树编号为 3 和 4;2 的左右子树编号为 5 和 6。
  根据数学归纳法,对于编号为 i i i 的结点,它的左子树编号为 2 i + 1 2i+1 2i+1,右子树编号为 2 i + 2 2i+2 2i+2。用宏定义实现如下:

#define lson(idx) (2*idx+1)
#define rson(idx) (2*idx+2)

  由于这里涉及到乘 2,所以我们还可以用左移位运算来优化乘法运算,如下:

#define lson(idx) (idx << 1|1)
#define rson(idx) ((idx + 1) << 1)

3、父结点编号

  同样,父结点编号也可以通过数学归纳法得出,当结点编号为 i i i 时,它的父结点编号为 i − 1 2 \\frac i-1 2 2i1,利用C语言实现如下:

#define parent(idx) ((idx - 1) / 2)

  这里涉及到除 2,可以利用右移运算符进行优化,如下:

#define parent(idx) ((idx - 1) >> 1)

  这里利用补码的性质,根结点的父结点得到的值为 -1;

4、数据域

  堆数据元素的数据域可以定义两个:关键字 和 值,其中关键字一般是整数,方便进行比较确定大小关系;值则是用于展示用,可以是任意类型,可以用typedef struct进行定义如下:

typedef struct 
    int key;      // (1)
    void *any;    // (2)
DataType;
  • ( 1 ) (1) (1) 关键字;
  • ( 2 ) (2) (2) 值,定义成一个空指针,可以用来表示任意类型;

5、堆的数据结构

  由于堆本质上是一棵完全二叉树,所以将它一一映射到数组后,一定是连续的。我们可以用一个数组来代表一个堆,在C语言中的数组拥有一个固定长度,可以用一个Heap结构体表示如下:

typedef struct 
    DataType *data;  // (1)
    int size;        // (2)
    int capacity;    // (3)
Heap;
  • ( 1 ) (1) (1) 堆元素所在数组的首地址;
  • ( 2 ) (2) (2) 堆元素个数;
  • ( 3 ) (3) (3) 堆的最大元素个数;

三、堆的常用接口

1、元素比较

  两个堆元素的比较可以采用一个比较函数compareData来完成,比较过程就是对关键字key进行比较的过程,以大顶堆为例:
  a. 大于返回 -1,代表需要执行交换;
  b. 小于返回 1,代表需要执行交换;
  c. 等于返回 0,代表需要执行交换;

int compareData(const DataType* a, const DataType* b) 
    if(a->key > b->key) 
        return -1;
    else if(a->key < b->key) 
        return 1;
    
    return 0;

2、交换元素

  交换两个元素的位置,也是堆这种数据结构中很常见的操作,C语言实现也比较简单,如下:

void swap(DataType* a, DataType* b) 
    DataType tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;

  更加详细的内容,可以参考:《算法零基础100讲》(第16讲) 变量交换算法 这篇文章。

3、空判定

  空判定是一个查询接口,即询问堆是否是空的,实现如下:

bool HeapIsEmpty(Heap *heap) 
    return heap->size == 0;

4、满判定

  满判定是一个查询接口,即询问堆是否是满的,实现如下:

bool heapIsFull(Heap *heap) 
    return heap->size == heap->capacity;

5、上浮操作

  对于大顶堆而言,从它叶子结点到根结点的元素关键字一定是单调不降的,如果某个元素出现了比它的父结点大的情况,就需要进行上浮操作。
  上浮操作就是对 当前结点父结点 进行比较,如果它的关键字比父结点大(compareData返回-1的情况),将它和父结点进行交换,继续上浮操作;否则,终止上浮操作。
  如图所示,代表的是一个关键字为 95 的结点,通过不断上浮,到达根结点的过程。上浮完毕以后,它还是一个大顶堆。

  上浮过程的 C语言 实现如下:

void heapShiftUp(Heap* heap, int curr)                // (1)
    int par = parent(curr);                            // (2)
    while(par >= root)                                // (3)
        if( compareData( &heap->data[curr], &heap->data[par] ) < 0 ) 
            swap(&heap->data[curr], &heap->data[par]); // (4) 
            curr = par;
            par = parent(curr);
        else 
            break;                                     // (5) 
        
    

  • ( 1 ) (1) (1) heapShiftUp这个接口是一个内部接口,所以用小写驼峰区分,用于实现对堆中元素进行插入的时候的上浮操作;
  • ( 2 ) (2) (2) curr表示需要进行上浮操作的结点在堆中的编号,par表示curr的父结点编号;
  • ( 3 ) (3) (3) 如果已经是根结点,则无须进行上浮操作;
  • ( 4 ) (4) (4) 子结点的关键字 大于 父结点的关键字,则执行交换,并且更新新的 当前结点 和 父结点编号;
  • ( 5 ) (5) (5) 否则,说明已经正确归位,上浮操作结束,跳出循环;

6、下沉操作

  对于大顶堆而言,从它 根结点 到 叶子结点 的元素关键字一定是单调不增的,如果某个元素出现了比它的某个子结点小的情况,就需要进行下沉操作。
  下沉操作就是对 当前结点关键字相对较小的子结点 进行比较,如果它的关键字比子结点小,将它和这个子结点进行交换,继续下沉操作;否则,终止下沉操作。
  如图所示,代表的是一个关键字为 19 的结点,通过不断下沉,到达叶子结点的过程。下沉完毕以后,它还是一个大顶堆。

  下沉过程的 C语言 实现如下:

void heapShiftDown(Heap* heap, int curr)             // (1)
    int son = lson(curr);                             // (2)

    while(son < heap->size) 
        if( rson(curr) < heap->size ) 
            if( compareData( &heap->data[rson(curr)], &heap->data[son] ) < 0 ) 
                son = rson(curr);                     // (3) 
                    
        
        if( compareData( &heap->data[son], &heap->data[curr] ) < 0 ) 
            swap(&heap->data[son], &heap->data[curr]); // (4)
            curr = son;
            son = lson(curr);
        else 
            break;                                     // (5) 
        
    

  • ( 1 ) (1) (1) heapShiftDown这个接口是一个内部接口,所以用小写驼峰区分,用于对堆中元素进行删除的时候的下沉调整;
  • ( 2 ) (2) (2) curr表示需要进行下沉操作的结点在堆中的编号,son表示curr的左儿子结点编号;
  • ( 3 ) (3) (3) 始终选择关键字更小的子结点;
  • ( 4 ) (4) (4) 子结点的值小于父结点,则执行交换;
  • ( 5 ) (5) (5) 否则,说明已经正确归位,下沉操作结束,跳出循环;

四、堆的创建

1、算法描述

  通过给定的数据集合,创建堆。可以先创建堆数组的内存空间,然后一个一个执行堆的插入操作。插入操作的具体实现,会在下文继续讲解。

2、动画演示

3、源码详解

Heap* HeapCreate(DataType *data, int dataSize, int maxSize)     // (1)
    int i;
    Heap *h = (Heap *)malloc( sizeof(Heap) );                    // (2)
    h->data = (DataType *)malloc( sizeof(DataType) * maxSize );  // (3)
    h->size = 0;                                                 // (4)
    h->capacity = maxSize;                                       // (5)

    for(i = 0; i < dataSize; ++i) 
        HeapPush(h, data[i]);                                    // (6)
    
    return h;                                                    // (7)

  • ( 1 ) (1) (1) 给定一个元素个数为dataSize的数组data,创建一个最大元素个数为maxSize的堆并返回堆的结构体指针;
  • ( 2 ) (2) (2) 利用malloc申请堆的结构体的内存;
  • ( 3 ) (3) (3) 利用malloc申请存储堆数据的数组的内存空间;
  • ( 4 ) (4) (4) 初始化空堆;
  • ( 5 ) (5) (5) 初始化堆最大元素个数为maxSize
  • ( 6 ) (6) (6) 遍历数组执行堆的插入操作,插入的具体实现HeapPush接下来会讲到;
  • ( 7 ) (7) (7) 最后,返回堆的结构体指针;

五、堆元素的插入

1、算法描述

  堆元素的插入过程,就是先将元素插入堆数组的最后一个位置,然后执行上浮操作;

2、动画演示

3、源码详解

bool HeapPush(Heap* heap, DataType data) 
    if( heapIsFull(heap) ) 
        return false;                  // (1)
    
    heap->data[ heap->size++ ] = data; // (2)
    heapShiftUp(heap, heap->size-1);   // (3)
    return true;

  • ( 1 ) (1) (1) 堆已满,不能进行插入;
  • ( 2 ) (2) (2) 插入堆数组的最后一个位置;
  • ( 3 ) (3) (3) 对最后一个位置的 堆元素 执行上浮操作;

五、堆元素的删除

1、算法描述

  堆元素的删除,只能对堆顶元素进行操作,可以将数组的最后一个元素放到堆顶,然后对堆顶元素进行下沉操作。

2、动画演示

3、源码详解

bool HeapPop(Heap *heap) 
    if(HeapIsEmpty(heap)) 
        return false;                               // (1)
    
    heap->data[root] = heap->data[ --heap->size ];  // (2)
    heapShiftDown(heap, root);                      // (3)
    return true;

  • ( 1 ) (1) (1) 堆已空,无法执行删除;
  • ( 2 ) (2) (2) 将堆数组的最后一个元素放入堆顶,相当于删除了堆顶元素;
  • ( 3 ) (3) (3) 对堆顶元素执行下沉操作;

  

👇🏻 九日集训 可通过下方 以上是关于C语言每日一练 —— 第19天:二叉堆的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

C语言每日一练——第154天:牛顿迭代法求方程根

C语言每日一练——第105天:杨辉三角形

C语言每日一练——第126天:佩奇借书问题

C语言每日一练——第90天:青蛙跳台阶(升级版)

C语言每日一练——第147天:兔子产子问题

C语言每日一练——第64天:自动发牌程序