算法学习——递归和排列组合

Posted 2022-02-05 布布要成为最强的人

排列组合三大问题：
1.打印n个数的全排列
2.打印n个数中任意m个数的全排列
3.打印n个数中任意m个数的组合

1.打印n个数的全排列
这个题实际上是可以直接用STL中的next_permutation()函数，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
	int data[4]=5,2,4,1;
	sort(data,data+4);//先排序得到字典序最小的序列
	do
		for(int i=0;i<4;i++)
			cout<<data[i]<<" ";
		cout<<endl;
	while(next_permutation(data,data+4));

这样输出出来的全排列是按照字典序输出的，这是它的优点。

如果用递归求全排列呢？
假如给了n个数123…n，求其全排列的数量，应当如何解决呢，下面给出一个递归的思路：

一开始先按照字典序排列，然后把第一个数依次和后面的数交换：
1 2 3 4 5…n
2 1 3 4 5…n
.
.
.
n 2 3 4 5…1
这是第一层递归，只要第一个数不同，不需要管后面n-1个数

然后在上面的每个数列中去掉第一个数，对后面的n-1个数做如上操作，例如取第二组做该操作，则该第二层的递归为：
1 3 4 5…n
3 1 4 5…n
.
.
.
n 3 4 5…1

重复以上步骤，直到用完所有的数字。

这么讲并不好理解，我从小规模到大规模来阐述这个思想：

假如只有两个数1,2需要进行全排列工作：
先按字典序排成1,2，这是第一层递归的第一组
把1去掉，只留下一个数，那么只有1种情况。
第一层递归的第二组是2,1，这也是最后一组了
把2去掉，只留下一个数，那么只有1种情况
因此两个数的全排列是两种情况

假如有三个数1,2，3需要进行全排列工作：
直接看第一层递归的三种情况：
1、2、3；2、1、3；3、2、1
每一种情况都把第一个数去掉，就变成只有2个数的全排列了
而由上述所知，两个数的全排列有两种情况
那么第一层递归的三种情况都各自包含两种情况即3×2=6

往后依旧借用前面的标准即可。
可是放到代码实现的时候可不能做完一层删一个数，只能实现的了保留那层递归的第一个数，然后继续对下面的数做递归操作，这样就完美符合了递归的思想。
代码实现如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Swap(a,b)int temp=a;a=b;b=temp;
//也可以用STL的swap函数，但是速度慢一些
int data[]=1,2,3,4,5;
int num=0;
void Perm(int begin,int end)
    if(begin==end)num++;//递归到底了，自然只有一种情况，num++
    else
        for(int i=begin;i<=end;i++)
        	//i要注意从begin开始，自己和自己换的也算是一种情况
            Swap(data[begin],data[i]);
            Perm(begin+1,end);//保留第一个数，进入下一层递归
            Swap(data[begin],data[i]);//要记得换回来
        
    

int main()
	Perm(0,4);
	cout<<num<<endl;

如果想要输出这个排列，直接在Perm函数中的if语句下面做循环输出即可。
需要注意的是：这样输出出来的并不一定符合字典序。

2.打印n个数中任意m个数的全排列
这个只需要把上面if语句中的条件改一下就行，改成begin==m即可
思路是一样的，从小规模列起就好了。

3.打印n个数中任意m个数的组合
这个和上面的第2个问题就不一样了，组合问题只需要选m个数而无须做排列，应该怎么实现呢？
利用二进制的思想，原理如下：
设一个集合a0,a1,a2,…,an-1，子集共有2的n次方个，其中包括空集。
例如一个n=3的集合a0,a1,a2，其子集为φ,a0,a1,a1,a0,a2,a2,a0,a2,a1,a2,a1,a0。为什么以这个顺序来排呢？因为这样非常符合二进制位权值的思想。刚好可以和二进制对应：

φ	a0	a1	a1 a0	a2	a2 a0	a2 a1	a2 a1 a0
000	001	010	011	100	101	110	111

如何输出这些子集？，还是利用二进制位权的思想，利用相与运算得出其二进制数中的每一个1，直接对应数字，完全代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void print_subset(int n)
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        for(int j=0;j<n;j++)//打印子集，即打印i的二进制数中的每一个1
            if(i&(1<<j))
                cout<<j<<" ";
        cout<<endl;
    

int main()
	int n;
	cin>>n;
	print_subset(n);

回到问题3，要找到任意m个数的组合，只需要做一个判断：确定一个子集对应的二进制数中1的数量。这是解题的关键。
有一个很巧妙的做法：kk=kk&(kk-1)
重复使用该式子，直到kk为0，即可得出1的数量。

完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void print_subset(int n,int k)
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
        int num=0,kk=i;
        while(kk)
            kk=kk&(kk-1);
            num++;
        
        if(num==k)
            for(int j=0;j<n;j++)//打印子集，即打印i的二进制数中的每一个1
                if(i&(1<<j))
                    cout<<j<<" ";
            cout<<endl;
        
    

int main()
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	print_subset(n,k);

解决，干杯！