一文学懂递归和动态规划

Posted 2021-08-24 小齐本齐

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一文学懂递归和动态规划相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

大家好，这里是《齐姐聊算法》系列之递归和 DP 问题。

递归，是一个非常重要的概念，也是面试中非常喜欢考的。因为它不但能考察一个程序员的算法功底，还能很好的考察对时间空间复杂度的理解和分析。

本文只讲一题，也是几乎所有算法书讲递归的第一题，但力争讲出花来，在这里分享四点不一样的角度，让你有不同的收获。

时空复杂度的详细分析
识别并简化递归过程中的重复运算
披上羊皮的狼
适当炫技助我拿到第一份工作

算法思路

大家都知道，一个方法自己调用自己就是递归，没错，但这只是理解递归的最表层的理解。

那么递归的实质是什么？

答：递归的实质是能够把一个大问题分解成比它小点的问题，然后我们拿到了小问题的解，就可以用小问题的解去构造大问题的解。

那小问题的解是如何得到的？

答：用再小一号的问题的解构造出来的，小到不能再小的时候就是到了零号问题的时候，也就是 base case 了。

那么总结一下递归的三个步骤：

Base case：就是递归的零号问题，也是递归的终点，走到最小的那个问题，能够直接给出结果，不必再往下走了，否则，就会成死循环；

拆解：每一层的问题都要比上一层的小，不断缩小问题的 size，才能从大到小到 base case；

组合：得到了小问题的解，还要知道如何才能构造出大问题的解。

所以每道递归题，我们按照这三个步骤来分析，把这三个问题搞清楚，代码就很容易写了。

斐波那契数列

这题虽是老生常谈了，但相信我这里分享的一定会让你有其他收获。

题目描述

斐波那契数列是一位意大利的数学家，他闲着没事去研究兔子繁殖的过程，研究着就发现，可以写成这么一个序列：1，1，2，3，5，8，13，21… 也就是每个数等于它前两个数之和。那么给你第 n 个数，问 F(n) 是多少。

解析

用数学公式表示很简单：

$$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$

代码也很简单，用我们刚总结的三步：

base case: f(0) = 0, f(1) = 1.
分解：f(n-1), f(n-2)
组合：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

那么写出来就是：

class Solution {
    public int fib(int N) {
        if (N == 0) {
            return 0;
        } else if (N == 1) {
            return 1;
        }
        return fib(N-1) + fib(N-2);
    }
}

但是这种解法 Leetcode 给出的速度经验只比 15% 的答案快，因为，它的时间复杂度实在是太高了！

过程分析

这就是我想分享的第一点，如何去分析递归的过程。

首先我们把这颗 Recursion Tree 画出来，比如我们把 F(5) 的递归树画出来：

那实际的执行路线是怎样的？

首先是沿着最左边这条线一路到底：F(5) → F(4) → F(3) → F(2) → F(1)，好了终于有个 base case 可以返回 F(1) = 1 了，然后返回到 F(2) 这一层，再往下走，就是 F(0)，又触底反弹，回到 F(2)，得到 F(2) = 1+0 =1 的结果，把这个结果返回给 F(3)，然后再到 F(1)，拿到结果后再返回 F(3) 得到 F(3) = 左 + 右 = 2，再把这个结果返上去...

这种方式本质上是由我们计算机的冯诺伊曼体系造就的，目前一个 CPU 一个核在某一时间只能执行一条指令，所以不能 F(3) 和 F(4) 一起进行了，一定是先执行了 F(4) （本代码把 fib(N-1) 放在前面），再去执行 F(3).

我们在 IDE 里 debug 就可以看到栈里面的情况：这里确实是先走的最左边这条线路，一共有 5 层，然后再一层层往上返回。