基尔霍夫矩阵

Posted 2023-02-23 XINNNNNNNYU

Matrix-Tree 定理又称基尔霍夫矩阵树定理，其用于解决：给定 n 个点 m 条边的无向图，求图的生成树个数的问题。

【基尔霍夫矩阵】

1.基本定义

1）无向图 𝐺：给定 𝑛 个点，𝑚 条边的无向图，设点集为 𝑉，边集为 𝐸，则其记为 𝐺(𝑉,𝐸)
2）度数矩阵 𝐷[𝐺]：当 𝑖≠𝑗 时，𝐷[𝑖][𝑗]=0，当 𝑖=𝑗 时，𝐷[𝑖][𝑗]=点𝑣的度数
3）邻接矩阵 𝐴[𝐺]：当 𝑣𝑖、𝑣𝑗 有边连接时，𝐴[𝑖][𝑗]=1，当 𝑣𝑖、𝑣𝑗 无边连接时，𝐴[𝑖][𝑗]=0
4）基尔霍夫矩阵(Kirchhoff) 𝐾[𝐺]：也称拉普拉斯算子，其定义为 𝐾[𝐺]=𝐷[𝐺]−𝐴[𝐺]，即：𝐾[𝑖][𝑗]=𝐷[𝑖][𝑗]−𝐴[𝑖][𝑗]

2.基尔霍夫矩阵性质

对于任意一个图 𝐺，其基尔霍夫矩阵 𝐾 具有以下性质：

1.基尔霍夫矩阵 𝐾 的每一行或每一列上的元素和都是 0
2.基尔霍夫矩阵 𝐾 的行列式的值为 0
3.基尔霍夫矩阵 𝐾 的任意一个代数余子式值都相同
4.如果图 𝐺 不连通，基尔霍夫矩阵 𝐾 的任意主子式行列式值为 0
5.如果图 𝐺 是一棵树，基尔霍夫矩阵 𝐾 的任意一个 𝑛−1 阶主子式的行列式为 1

3.Matrix-Tree 定理

Matrix-Tree 定理的内容为：对于已经得出的基尔霍夫矩阵，去掉其随意一行一列得出的矩阵的行列式，其绝对值为生成树的个数

因此，对于给定的图 𝐺，若要求其生成树个数，可以先求其基尔霍夫矩阵，然后随意取其任意一个 𝑛−1 阶行列式，然后求出行列式的值，其绝对值就是这个图中生成树的个数。