CF 666 (Div. 2) D. Stoned Game博弈论

Posted 2023-02-22 lasomisolaso~

题意：

有$n$堆石头，两个人轮流拿石头。每个人只能从一堆石头中拿走一个，并且这堆石头不能是上一轮另外一个玩家拿过的。谁没有石头拿就输了。

思路：

设当前所有石头堆的石头数量的总和为$S$。

第一种情况：如果某一堆石头的个数大于 $\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$ ,那么肯定是先手获胜，就是面临这种情况的玩家必胜。

如果一堆石头大于 $\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$ ，那么其它所有石头的和都比这堆石头少。那么先手只要一直拿这堆石头，后手只能拿其它的石头。一定是后手先将其它的石头消耗完。

第二种情况：如果所有的堆的石头个数都小于等于$\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$ ，并且石头的个数是偶数，那这种情况一定是后手胜。也就是说面临这种情况的玩家将必然输。

证明：先手从$n$堆石头中取出1个石头，石头数量变成 $S-1$ 。 后手检查所有的石头，看是否有石头堆的石头个数大于$\lfloor \frac{S-1}{2}\rfloor$， 有的话直接转第一种情况 ，后手获胜；否则后手就可以随便的拿一个石头。这样石头总数变为$S-2$ ， 还是所有的石头堆的石头数量都小于$\lfloor \frac{S-2}{2}\rfloor$ 。这是因为 $\lfloor \frac{S-1}{2}\rfloor$ = $\lfloor \frac{S-2}{2}\rfloor$ ，因为$S$是偶数，后手没拿之前就已经没有大于$\lfloor \frac{S-1}{2}\rfloor$ 的，拿了之后更不可能。

还有，因为没有一堆石头的石头个数是大于$\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$， 所以先手拿了之后后手必然是可以继续拿的。

所以这种情况就是，先手拿之后，后手不是转成必胜，就可以继续拿。所以后手必胜。

第三种情况：如果所有的堆的石头个数都小于等于$\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$ ，并且石头的个数是奇数。这种情况先手必胜。

因为先手随便拿一个石头，石头总数变为$S-1$, $S$是奇数，$\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$ =$\lfloor \frac{S-1}{2}\rfloor$ ， 所以所有的石头堆的个数还是小于$\lfloor \frac{S}{2}\rfloor$ ，$S$变为偶数，情况转为第二种情况，只是这个时候后手面临这种情况，那后手就必败。

代码：

/*
 * @file D.cpp
 * @path D:\\code\\ACM\\codeforces\\Div2_666\\D.cpp
 * @author Xiuchen
 * @date  2020-09-23 21:51:57
*/

#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
//#define DEBUG
#define dbg(x) cout << #x << " = "<< (x) << endl
#define dbg2(x1,x2) cout << #x1 << " = " << x1 << " " << #x2 << " = " << x2 << endl
#define dbg3(x1,x2,x3) cout<< #x1 << " = " << x1 << " " << #x2 << " = " << x2 << " " << #x3 << " = " << x3 <<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const int maxn = 110;
int gcd(int a, int b)
    return b ? gcd(b, a % b) : a;

int t, n;
int a[maxn];
int main()
#ifdef DEBUG
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//	freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
        scanf("%d", &n);
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), sum += a[i];
        sort(a + 1, a + n + 1);
        if(a[n] > sum / 2) printf("T\\n");
        else
            if(sum % 2 == 0) printf("HL\\n");
            else printf("T\\n");
        
    
    return 0;