放苹果问题（组合数学经典）

Posted 2020-12-31 mrh-acmer

转自   ： https://blog.csdn.net/u012283461/article/details/52761238

 

【问题描述】

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

【输入】

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

【输出】

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

【问题分析】

放苹果的问题乍看之下很复杂，盘子是一样的，苹果也是一样的；只要每个盘子里面放的苹果是一样多的，不管顺序如何最终得到的都是同一种分法。我属于初学算法，对于算法不熟悉，一遇到问题就会用人的思维去思考问题，我会想着空一个盘子是什么情况，空两个盘子是什么情况，一个盘子都不空又是什么情况。越想脑子越乱，最后就得不到解题方法，但是就目前看的递归算法而言。似乎是因为我想多了，其实我们需要把问题简化。就拿这个放苹果的问题而言，我们只需要分两种情况：有空盘子和没空盘子。

1.有空盘子：f(m,n)=f(m,n-1)//有空盘子很多人会有疑问，这不是只有一个空盘子的情况吗？那2个3个空盘子呢？这就需要递归的思想，随着一步一步的将n换成n-1你就会发现那就是2,3个空盘子的情况。

2.没有空盘子：f(m,n)=f(m-n,n)//没有空盘子，我们可以看成先给每一个盘子放一个苹果，则还剩下m-n个苹果，剩下的问题就是把这m-n个苹果放到n个盘子里的问题了，也许有人会问，m-n个苹果放到n个盘子也会出现空盘子的情况啊，不是和前面的有空盘子重复了？确实，会出现空盘子的情况，但是请注意，他们并不是真的空盘子，因为他们最开始已经放了一个，他们在这里的空代表着这个盘子只有最开始放的一个苹果。

因此：f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)       m>=n                  

上面的表达式并不完整，当m<n时的情况没有考虑，当m<n的时候，肯定最少有n-m个空盘子，不过幸好，这些空盘子并不影响最后的结果，因为每种方法都带有着些空盘子，剩下的问题就是把m个苹果放到m个盘子有多少种方法了。

因此：f(m,n)=f(m,m)                m<n

写到这里主要表达式基本上已经写完了，但是递归都需要有结束条件，结束条件并不是很难发现，当只有一个盘子时明显只有一种方法，另外没有苹果和只有一个苹果的时候也只有一种放法。即f(m,n)=1      n=1,m=0

综上：

f(m,n)=1                         n=1,m=0

f(m,n)=f(m,m)                m<n

f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)       m>=n  

 

 

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxm=10000;
int m[maxm],n[maxm],k[maxm];
int putApple(int m,int n);
int main(){
    memset(k,0,sizeof(k));
    int t;
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        cin>>m[i]>>n[i];        
    }
    for(int i=1;i<=t;i++){
    k[i]=putApple(m[i],n[i]);
    cout<<k[i]<<endl;
    }
} 
 
int putApple(int m,int n){
    if(m==0||n==1) return 1;
    if(n>m) 
        return putApple(m,m);
    else
        return putApple(m,n-1)+putApple(m-n,n);
}