理解 Trachtenberg 速算法

Posted 2023-05-17

参考技术A 看了一宿的 Trachtenberg 速算法，终于弄明白了。不得不承认，脑力不够😪

简单地说，这是一种低空间复杂度的线性算法。也就是说，占用的心理内存很少。看破了其实很简单。我们以一个三位数×两位数为例：

对于 m 位 × n 位：

验证一下：

这里的 a 也好，b 也好，都不超过 9 。所以，其乘积也不会过百。于是，我们定义两个函数：

这样，我们只需要从低位往高位依次计算，并把进位传递到高位就可以得到一个线性算法了。

以百位 (10^2) 为例，我们需要做的就是把所有下标加起来等于 2 的「个」位，以及所有下标加起来等于 2 - 1 的「十」位，还有上一位上传来的进位，加起来。

现在，我们的任务只剩下找到一种好记的记法，记住哪些取个位、哪些取十位，就大功告成了。

而 Trachtenberg 的天才就在于，他把算式横过来写了！还可以有这种骚操作😱 竖线表示取个位，斜线表示取十位，像一个滑动窗口一样滑过被乘数：

现在，当我们回过头去看那个通用公式，会发现：其实它已经揭示了所有的秘密。我们要做的是两件事：

好吧，这其实就一件事：

也就是说，不存在什么「竖线规则」「斜线规则」，我们只需要在头脑中想象好一组配对，先计算「个位和」，再计算「十位和」（作为下一组的进位）。

Trachtenberg 实在太聪明了，并不仅仅是因为他竟然能够找到这种图形化表示方法，而在于把这套速算系统分解开来，每个部分都很简单（包括「调整计算顺序以简化计算」其实也是一种很常见的思路），但是你就是想不到。也许就像竖式乘法之于横式乘法，他的心理寄存器远大于我们吧，所以才能把这些部件组合出如此精妙的算法来。

大家要想知道更多细节，去看 wiki 吧。

经验分享Trachtenberg system(特拉亨伯格速算系统)

二战期间，俄国的数学家Jakow Trachtenberg（1888-1953）被关进纳粹集中营，在狱中，他开发出了一套心算算法，这套算法后来被命名为Trachtenberg(特拉亨伯格)速算系统。

有比较才能有差别。在对比之前先来看一下我们传统教育中是怎么计算的，以乘法为例，学校里教的是酱紫的算式：

舍得直接引用Wiki上相关介绍页面的实例, 以乘法为例，计算123456 x 789的值。

俗话说，有比较才能有差别。我们学校里教的是酱紫的算式：

再来看看Trachtenberg是怎么来算的，计算出的值从右至左分别为：

第1位（右起，下同）：先算6 x 9，取个位，得到4; 来个示意图：

第2位：依次取9 x 5的个位，9 x 6的十位，

            8 x 6的个位，加起来：

            5 + 5 + 8 = 18

            所以第2位就是8，把十位上的1带到第3位计算；示意图如下，垂直的箭头表示取这两数乘积的个位，斜的箭头则表示取乘积的十位（下同）：

第3位：依次取9 x 4的个位，9 x 5的十位，

            8 x 5的个位，8 x 6的十位，

            7 x 6的个位，

            以及上一步的进位（1），加起来

            6 + 4 + 0 + 4 + 2 + 1 = 17

            所以第3位是7，照例将十位上的1带到下一步计算； 示意图如下：

第4位：依次取9 x 3的个位，9 x 4的十位，

            8 x 4的个位，8 x 5的十位，

            7 x 5的个位，7 x 6的个位，

            以及上一步的进位（1），加起来：

            7 + 3 + 2 + 4 + 5 + 4 + 1 = 26

            所以第3位是6，照例将十位上的2带到下一步计算；示意图如下：

            看出点什么来了没？我们只要每次将舍得用红线圈出的三组箭头往前移动一位，就可以知道要加哪些数。这三组箭头“可以”在计算第1位时就存在，想象一下！

            所以后面几位的计算就很简单，照这个规律来就是。

第5位：

第6位：

第7位：下图中，要注意的是9 x 1的十位还是要取的，只不过该位无数值，以0代替而已；

第8位：同样，8 x 1的十位为0；

第9位：继续把箭头组往左推一位，可发现，只要计算7 x 1的十位，由于值为0，所以第9位为0，忽略。

好了，整个运算过程介绍完了。在这个计算过程中，计算者主要做了：

• 在纸横向列出算式；
• 按规则从右至左算出并写下每一位数，书写位置参考上面的示意图；
• 计算的过程很简单：会九九乘法表和简单数的相加即可；
• 心算的负担很轻，只要存住每次的进位就行，据称，这样的储存用一只手就能搞定；

这套算法不但算起来很快，而且很简单。有兴趣的童鞋可以自行通过英文版的《The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics》学习，这本书是Ann Cutler和Rudolph McShane编译的，详细地介绍了Trachtenberg速算系统的使用。家有适龄孩子的童鞋，学会后可以当孩子们的老师哦！

书的原版购买链接在这里：特拉亨伯格速算法

附《The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics》下载地址：

链接：http://pan.baidu.com/s/1mhTSMwS 密码：z6od