离散余弦变换的参考资料

Posted 2023-05-06

参考技术A

K. R. Rao and P. Yip, 离散余弦变换 : 算法、优点和应用 (Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications) (Academic Press, Boston, 1990).
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, 时间离散信号处理(Discrete-Time Signal Processing), second edition (Prentice-Hall, New Jersey, 1999).
S. A. Martucci, 对称卷积和离散正弦余弦变换 (Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms), IEEE Trans. Sig. ProcessingSP-42, 1038-1051 (1994).
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, 一个免费的C语言库GPL，可以计算DCT-I~IV的1维到多维的任意大小的变换
M. Frigo and S. G. Johnson, FFTW3的设计和实现, Proceedings of the IEEE93 (2), 216–231 (2005).

离散余弦变换(含源码)

图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换,其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT( Discrete Cosine Transformation)，常用于图像处理和图像识别等。

一维离散余弦变换

正变换

                                   (1)

                            (2)

式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量,u=1,2,3......N-1; f(x)是时域N点序列, x=0,1,2......N-1

反变换

  （3）

显然，式(1)式(2)和式(3)构成了一维离散余弦变换对。

二维离散余弦变换

正变换

  （4）

式(4)是正变换公式。其中f(x,y)是空间域二维向量之元素， x,y=0,1,2,......N-1；F(u,v)是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N×N

反变换

 （5）

式中的符号意义同正变换式一样。式(4)和式(5)是离散余弦变换的解析式定义。

矩阵表示法

更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。根据以上公式定义可知，离散余弦变换的系数矩阵可以写成如下：

如果令N＝4，那么由一维解析式定义可得如下展开式。

写成矩阵式

若定义F(u)为变换矩阵，A为变换系数矩阵，f(x)为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式

[F(u)]=[A][f(x)]                       （6）

同理，可得到反变换展开式

写成矩阵式即

[f(x)]=[A]^T[F(u)]                      （7）

二维离散余弦变换也可以写成矩阵式：

[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]^T            （8）

[f(x,y)]=[A]^T[F(u,v)][A]                     

式中[f(x,y)]是空间数据阵列，A是变换系数阵列，[F(u,v)]是变换矩阵，[A]T是[A]的转置。

对二维图像进行离散余弦变换

由以上对二维离散余弦变换的定义及公式（7）可知，求二维图像的离散余弦变换要进行以下步骤：

1.获得图像的二维数据矩阵f(x,y)；

2.求离散余弦变换的系数矩阵[A]；

3.求系数矩阵对应的转置矩阵[A]T；

4.根据公式（7）[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T 计算离散余弦变换；

源代码：

package cn.edu.jxau.image;

import java.awt.image.BufferedImage;

/**
 * 图像的变换
 * @author luoweifu
 *
 */
public class Transformation 
	/**
	 * 要进行DCT变换的图片的宽或高
	 */
	public static final int N = 256;
	
	/**
	 * 傅里叶变换
	 * @return
	 */
	public int[] FFT() 
		
		return null;
	
	
	/**
	 * 离散余弦变换
	 * @param pix 原图像的数据矩阵
	 * @param n 原图像(n*n)的高或宽
	 * @return 变换后的矩阵数组
	 */
	public int[] DCT(int[] pix, int n) 		
		double[][] iMatrix = new double[n][n]; 
		for(int i=0; i<n; i++) 
			for(int j=0; j<n; j++) 
				iMatrix[i][j] = (double)(pix[i*n + j]);
			
		
		double[][] quotient = coefficient(n);	//求系数矩阵
		double[][] quotientT = transposingMatrix(quotient, n);	//转置系数矩阵
		
		double[][] temp = new double[n][n];
		temp = matrixMultiply(quotient, iMatrix, n);
		iMatrix =  matrixMultiply(temp, quotientT, n);
		
		int newpix[] = new int[n*n];
		for(int i=0; i<n; i++) 
			for(int j=0; j<n; j++) 
				newpix[i*n + j] = (int)iMatrix[i][j];
			
		
		return newpix;
	
	/**
	 * 矩阵转置
	 * @param matrix 原矩阵
	 * @param n 矩阵(n*n)的高或宽
	 * @return 转置后的矩阵
	 */
	private double[][]  transposingMatrix(double[][] matrix, int n) 
		double nMatrix[][] = new double[n][n];
		for(int i=0; i<n; i++) 
			for(int j=0; j<n; j++) 
				nMatrix[i][j] = matrix[j][i];
			
		
		return nMatrix;
	
	/**
	 * 求离散余弦变换的系数矩阵
	 * @param n n*n矩阵的大小
	 * @return 系数矩阵
	 */
	private double[][] coefficient(int n) 
		double[][] coeff = new double[n][n];
		double sqrt = 1.0/Math.sqrt(n);
		for(int i=0; i<n; i++) 
			coeff[0][i] = sqrt;
		
		for(int i=1; i<n; i++) 
			for(int j=0; j<n; j++) 
				coeff[i][j] = Math.sqrt(2.0/n) * Math.cos(i*Math.PI*(j+0.5)/(double)n);
			
		
		return coeff;
	
	/**
	 * 矩阵相乘
	 * @param A 矩阵A
	 * @param B 矩阵B
	 * @param n 矩阵的大小n*n
	 * @return 结果矩阵
	 */
	private double[][] matrixMultiply(double[][] A, double[][] B, int n) 
		double nMatrix[][] = new double[n][n];
		double t = 0.0;
		for(int i=0; i<n; i++) 
			for(int j=0; j<n; j++) 
				t = 0;
				for(int k=0; k<n; k++) 
					t += A[i][k]*B[k][j];
				
				nMatrix[i][j] = t;			
		
		return nMatrix;