树——二叉排序树（BST）

Posted 2023-02-14 牧鱼ys

定义

二叉排序树是一棵具有如下特性的二叉树：

1. 若左子树非空，则左子树上所有节点的值均小于根节点的值
2. 若右子树非空，则右子树上所有节点的值均大于根节点的值
3. 左、右子树均为一棵排序二叉树

二叉树的中序遍历可以得到一个递增的有序序列

查找

• 从根节点开始沿某个分支逐层向下比较。
• 先跟根节点比较，如果值相等则查找成功
• 若小于根节点的关键字，则再根节点的左子树上查找，否则在右子树上查找

插入

若原二叉树为空，则直接插入节点；否则，小于根节点的值，则插入到左子树，大于则插入到右子树上。
插入的结点一定是一个新添的叶结点

删除

删除可以分一下三种情况来考虑

1. 若被删除节点z为叶结点，则直接删除
2. 若被删除结点z只有一颗左子树获右子树，则让z的子树成为z父节点的子树
3. 若节点z右左右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）代替z，然后从二叉排序中删去这个直接后继（或直接前驱），又转为第一获第二种情况。

查找效率分析

二叉树的查找效率，主要取决于树的高度。若左右子树的高度只差绝对值不超过1，则平均查找长度为$O(lo{g}_{2}n)$；若二叉排序树是一个只有左（右）孩子的单支树，则平均查找长度为$O(n)$