数据库系统原理之关系代数

Posted 2023-05-01

参考技术A 关系代数基于集合（关系），定义了一系列对集合（关系）对操作。如并，差，笛卡尔积，选择，更名，投影等基本操作，以及基于基本操作推导出来的扩展操作。
关系代数作用于一个或多个关系，然后产生一个新的关系。可以将关系代数理解为函数，接受一个关系输入，返回一个新对关系。举个例子，我们将并操作命名为 Union ，那么并操作可以表示为：

对于其他对操作如差操作，选择操作等，都有相应对数学符号进行表示，但在中输入这些符号比较困难，再加上我学习关系代数是了解基本的概念知识，这里就不使用数学符号表示了，而是以文字代替。
关系代数定义了基于集合（关系）的操作，其是 SQL 的重要基础（另一个重要基础是关系演算），了解了关系代数的概念以及各个操作要达到的目的之后，对 SQL 中对一些概念也会更加清晰，如连接操作。
本文首先介绍关系代数中的基础操作，再介绍扩展操作。

关系代数的基础操作有：并，差，笛卡尔积，选择，更名，投影等。有些操作如并，差等要求参与运算的关系需要具备并相容性。所谓并相容性，就是两个关系的属性数目（度）相同，并且每个度所在的域相同。
如 R(学生,学号,地址) 和 S(课程,课程号) 两个关系由于度和属性所在的域不相同，因此不具备并相容性，也就无法进行并，差等操作。
相应的， R2(学生,学号,地址) 和 S(教师,教师号,地址) 由于度和属性所在的域相同，因此具备并相容性。

并操作就是将两个关系合并为一个关系，在合并时去掉重复的元组。为什么要去掉重复项呢？这是集合的特质，集合要求不能有重复项。
R 并 S 和 S 并 R 得到的结果是一样的，即并操作满足交换律。
举个例子，有两个关系 R(学生) 和 S(教师)：

这两个关系进行并操作的结果为：

差操作用来选择出现在一个关系但并未出在另一个关系中的元组。
还是以上面两个关系 R(学生) 和 S(教师) 为例，R 差 S 的结果为：

S 差 R 的结果为：

其中元组 T(Jerry,2,澳大利亚) 在两个关系中都出现，是两个关系的交集。因此差操作就是从一个关系中去除和另一个关系的交集所得到的集合。
差操作不满足交换律。

笛卡尔积用来将两个关系连接起来，笛卡尔积的结果将两个关系中所有可能的元组组合起来。假设关系 R 的元组数目为 M，度数为 I，关系 S 的元组数目为 N，度数为 J，那么 R 和 S 进行笛卡尔积运算得到的新关系的元组数目为 M * N，度数为 I + J。
举个例子，有两个关系 R(学生) 和 S(课程) ：

那么对 R 和 S 进行笛卡尔积的结果为：

笛卡尔积用来将两个关系连接在一起，获取所有可能的结果，其是连接操作的基础。

选择操作就是从一个关系中，选择出满足条件的元组。
如从上面的学生表中，选择出学号大于等于 2 的学生，结果为：

选择条件由与或非逻辑表达式构成。

投影操作是从给定的关系中，选择出某些属性属性构成新的关系。如从学生表中投影出一个新的关系 R(姓名,地址) ：

关系代数常用的扩展操作有交操作，Theta 连接操作，自然连接操作，外连接操作，除操作等。扩展操作可以由基础操作推导而来。

交操作用来从两个关系中，选择出同时存在于两个关系中的元组。如上面 R(学生) 和 S(教师) 进行交操作的结果为：

Theta 连接操作会从两个关系的笛卡尔积中，选择出某个条件的元组，并去掉重复项。例如在上面笛卡尔积例子，选择出课程号不为 c1 并且学号不为 s1 的元组：

连接操作一般和投影操作配合使用，比如从上面的结果集中投影出 R(姓名,课程) ：

Theta 连接操作中有个特殊的操作，叫做等值连接，即选择条件为判断是否相等。

自然连接可以认为是一种特殊的等值连接，其要求两个关系具有相同的属性，并且判断条件为两个关系中的某两个相同属性的值相等。
自然连接是最常用的连接操作。
假如有两个关系 R(学生 ) 和 S(班级) ：

对这两个关系进行自然连接的结果为：

外连接就是在自然连接的结果集中，将空值元组和没有匹配到的元素放入到结果集中。
假如有两个关系 R(学生 ) 和 S(班级) ：

首先对这两个关系进行自然连接：

我们在自然连接的结果集中，机上空值元组和没有匹配到的元组：

以上就是外连接的结果，也叫做全外连接：保证两端的元素不丢失。对应的，还有左外连接和右外连接，左外连接会保证左侧的元素不丢失，右外连接会保证右侧的元素不丢失。
因此上面两个进行左外连接的结果为：

进行右外连接的结果为：

除操作是对两个关系进行“除法”操作，要求“除数”关系是“被除数”关系的真子集。除操作会从“被除数”关系中，选择出一个新的关系，设为 N，N 也是 “被除数”关系的真子集。N 需要满足一个条件：
N 和“除数”关系的笛卡尔积是“被除数”关系的最大真子集。
好绕啊···
我们还是直接看例子吧。
假设有两个关系： R(A1,A2,A3) 和 S(A3) ：

对 R 和 S 进行除操作，得到的结果为：

如果 S 关系为：

那么对 R 和 S 进行除操作的结果为：

从上面的例子来看，除操作适用于“满足全部····”的查询。举个例子，从学生表中查询选择了所有课程或者选择了软件测试和软件工程这两门课程的学生。
假设存在一个关系 R(学生) 和 S(课程) ：

现在我们要查询选择了软件测试这门课的所有学生，则被除数关系为 R(学生) ，除数关系为：

对两个关系进行除操作，得到的结果为：

如果我们只需要获取学生的姓名，不需要学号这一列，那么可以再对结果集进行投影操作：

本文介绍了关系代数以及关系代数中常用的基础操作和扩展操作，基础操作包括并，差，笛卡尔积，选择，投影，更名等，某些基础要做要求两个参与运算的关系具有并相容性。扩展操作可以由基础操作推导而来，可以完成更复杂的操作。
关系代数是 SQL 语言的基础，SQL 语言是在关系代数上的一层封装，目的是方便程序员使用。
关系代数的操作接受一个或多个关系作为输入，再输出一个新的关系，不同的关系操作可以进行相互的组合。例如可以先进行选择操作再进行投影操作，先进行自然连接操作再进行选择操作等等。根据不同的需求需要灵活的组合这些操作。

完。

关系运算 - 数据库系统原理

       关系模型有三个重要组成部分：

1. 数据结构。数据库中全部数据及其相互联系都被组织成“关系”（二维表格）的形式。
2. 数据操纵。关系模型提供一组完备的高级关系运算，以支持对数据库的各种操作。关系运算又分为：关系代数和关系演算两类。
3. 数据完整性规则。数据库中数据必须满足实体完整性、参照完整性、用户定义完整性等三类完整性规则。

 

关系代数的五个基本操作

       关系代数是以关系（属性个数相同的元组的集合）为运算对象的一组高级运算的集合。关系代数的操作可以分为两类：

1. 传统的集合操作：并、差、交、笛卡尔积（乘法），笛卡尔积的逆运算（除法）。
2. 扩充的关系操作：对关系进行垂直分割（投影）、水平分割（选择）、关系的结合（连接，自然连接）。

• 并（Union）

       设关系 R 和 S 具有相同的关系模式，R 和 S 的并是由属于 R 或 属于 S 的元组构成的集合，记为 R ∪ S。

• 差（Difference）

       设关系 R 和 S 具有相同的关系模式，R 和 S 的差是由属于 R 但不属于 S 的元组构成的集合，记为 R - S。

• 笛卡尔积（Cartesian Product）

       设关系 R 和 S 的元数分别为 r 和 s，定义 R 和 S 的笛卡尔积是一个（r + s）元的元组集合，每个元组的前 r 个分量（属性值）来自 R 的一个元组，后 s 个分量来自 S 的一个元组，记为 R x S。若 R 有 m 个元组，S 有 n 个元组，则 R x S 有 m x n 个元组。

       例如：｛a，b｝，｛0，1，2｝的笛卡尔积是｛（a，0），（a，1），（a，2），（b，0），（b，1），（b，2）｝

• 投影（Projection）

       这个操作是对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。例如 ABC 三列，选择 CA 两列并重新排序，记作 πCA（派符号，CA为下标），或者 π31（列序号）。

• 选择（Selection）

       根据某些条件对关系做水平分割，即选取符合条件的元组。书写时，运算常量用单引号括起来，属性序号或属性名不需要引号括起来。

传统集合操作如下图：

 

关系代数的四个组合操作

• 交（Intersection）      

      关系 R 和 S 的交是由属于 R 又属于 S 的元组构成的集合，记为 R ∩ S。交操作的计算结果等于 R - （R - S）或 S - （S - R）。

• 连接（Join）

       其实，就是从关系 R 和 S 的笛卡尔积中作选择操作。

      

• 自然连接（Natural join）

       一般，自然连接使用在 R 和 S 有公共属性的情况下，如果两个关系没有公共属性，那么其自然连接就转化为笛卡尔积操作。说白了，就类似数据库中两表基于主外键的 join 连接。

• 除法（Division）

       言语不太好描述这种操作，类似在一个主表中查找指定条件，且是充分满足多行多列的指定条件的结果，并且结果集上再做垂直分割，去除这个条件列。

       下图的除法分别表示至少选修 COURSE1，COURSE2，COURSE3 中列出课程的学生名单：

      

 

关系代数运算的应用实例

       在关系代数运算中，把由五个基本操作经过有限次复合的式子称为关系代数表达式，这种表达式的运算结果仍是一个关系。

       例. 有这 4 个关系，用关系代数表达式表达每个查询语句。注：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、选择(σ)、投影(π) 、自然连接（??）、或（∨）、与（∧）

1. 教师关系 T（T#，TNAME，TITLE）
2. 课程关系 C（C#，CNAME，T#）
3. 学生关系 S（S#，SNAME，AGE，SEX）
4. 选课关系 SC（S#，C#，SCORE）

（1）检索学习课程号为 C2 课程的学生学号与成绩。

SELECT S#, SCORE FROM SC WHERE C# = ‘C2‘;  关系代数表达式：πS#,SCORE（σC#=‘C2‘（SC））

（2）检索学习课程号为 C2 课程的学生学号与姓名。

SELECT S#, SNAME FROM S INNER JOIN SC ON S.S# = SC.S# WHERE SC.C# = ‘C2‘;  关系代数表达式：πS#,SNAME（σC#=‘C2‘（S ?? SC））

（3）检索至少选修 LIU 老师所授课程中一门课程的学生学号和姓名。

πS#,SNAME（σTNAME=‘LIU‘（S ?? SC ?? C ?? T））

（4）检索选修课程号为 C2 或 C4 课程的学生学号。

πS#（σC#=‘C2‘ ∨ C#=‘C4‘ （SC））

（5）检索至少选修课程号为 C2 和 C4 课程的学生学号。

πS#（σC#=‘C2‘ ∧ C#=‘C4‘ （SC ?? SC）） 注：这里需要做关系自身的笛卡尔积操作，单个关系或表无法做一个字段的与操作。

（6）检索不学 C2 课程的学生姓名和年龄。

πSNAME,AGE（S） - πSNAME,AGE（σC#=‘C2‘（S ?? SC）） 注：先求出学习 C2 课程的学生姓名和年龄，再用全体学生和它做“减”操作。

（7）检索学习全部课程的学生姓名。

πS#,C#（SC） 表示学生选课情况；πC#（C） 表示全部课程；

学习了全部课程的学生学号可用除法操作表示，操作结果是学号 S# 集：πS#,C#（SC） ÷ πC#（C）；

最后做一个连接得到学生姓名：πSNAME（S ?? （πS#,C#（SC） ÷ πC#（C）））

（8）检索所学课程包含学号为 S3 的学生所学课程的学生学号。

πS#,C#（SC） ÷ πC#（σS#=‘S3‘（SC））

       关系代数表达式查询总结：一般，先把查询涉及到的关系取来，执行笛卡尔积或自然连接操作得到一张大的表格，然后再对其执行水平分割（选择操作）和垂直分割（投影操作）。但当查询涉及到否定或全部值时，就要用到（差）操作或（除法）操作了。

 

关系代数的两个扩充操作

• 外连接

       关系 R 和 S 做自然连接时，是建立在两个关系的公共属性上值相等的元组构成，这自然也会造成 R 或 S 中有些元组在操作时被舍弃。有时，可能需要保存这些被舍弃的元组，就需要做外连接。

       外连接又分为：外连接、左外连接、右外连接。连接后，空闲处填写 null。

• 外部并（Outer Union）

       之前定义的并操作要求 R 和 S 具有相同的关系模式。但如果 R 和 S 的关系模式不同，构成的新关系的属性由 R 和 S 的所有属性组成，公共属性只取一次，新关系的元组由 R 或 S 的元组构成，元组新增加的属性上填写空值，这种操作就是“外部并”操作。

 

关系演算

       关系演算可分为元组关系演算和域关系演算，前者以元组为变量，后者以属性为变量，简称元组演算和域演算。

• 元组关系演算

       t 是元组变量，表示一个元数固定的元组；P 是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表达式。｛t | P（t）｝表示满足公式 P 的所有元组 t 的集合。

• 原子公式（Atoms）有 3 种形式：

1. R（s），其中 R 是关系名，s 是元组变量，它表示“s 是关系 R 的一个元组”。
2. s[i] θ u[j]，s 和 u 是元组变量，θ 是算术比较运算符，它表示“元组 s 的第 i 个分量和 u 第 j 个分量之间满足 θ 关系”。例如：s[1] < u[2]。
3. s[i] θ a 或 a θ u[j]，a 是常量，它表示“元组 s 的第 i 个分量值与常量 a 之间满足 θ 关系”。例如：s[1] = 3。

       在定义关系演算操作时，要用到“自由（Free）”和“约束（Bound）”变量概念。在一个公式中，如果元组变量未使用“存在量词（?）”或“全称量词（?）”符号定义，那么称其为“自由元组变量”，否则称其为“约束元组变量”。自由元组变量类似编程语言中外部变量或全局变量，约束元组变量类似过程中定义的局部变量。

• 公式（Formulas）的递归定义如下：

1. 每个原子是一个公式，其中的元组变量是自由变量。
2. 如果 P1 和 P2 是公式，那么 ┐P1、P1 ∨ P2、P1 ∧ P2、P1 => P2 也都是公式。分别表示：“P1 不是真”、“P1 或 P2 或两者都是真”、“P1 和 P2 都是真”、“若 P1 为真则 P2 必然为真”。
3. 如果 P1 是公式，那么（?s）（P1）和（?s）（P1）也都是公式。分别表示下列命题：“存在一个元组 s 使得公式 P1 为真”，“对于所有元组 s 都使得公式 P1 为真”。
4. 公式中各种运算符的优先级从高到低依次为：θ、? 和 ?、┐（符号：非），∨（符号：或） 和 ∧（符号：与），=>。
5. 公式只能由上述几种形式构成。

       在函数｛t | P（t）｝中，t 是 P（t）中唯一的自由元组变量。

 

       例. 下表的（a） 、（b）是关系 R 和 S，（c）~（e）分别是下面五个元组表达式的值：

1. R1 = ｛t | S（t）∧ t[1] > 2｝  解： t 是包含在 S 中的元组，且每一个 t 要满足的条件是 t[1] > 2，即 A 列的值大于 2。
2. R2 = ｛t | R（t）∧ ┐S（t）｝ 解：t 是包含在 R 中的元组，同时要满足非 S（t），即不是 S 中的元组。
3. R3 = ｛t | （?u）S（t）∧ R（u）∧ t[3] < u[2]｝  解：t 是包含在 S 中的元组，且 S.C < R.B 的才是符合要求的。

（a）表     R                          （b）表      S

A	B	C		A	B	C
1	2	3		1	2	3
4	5	6		3	4	6
7	8	9		5	6	9

（c）      R1                     （d）      R2                     （e）     R3

A	B	C		A	B	C		A	B	C
3	4	6		4	5	6		1	2	3
5	6	9		7	8	9		3	4	6

 

关系代数表达式到元组表达式的转换

       关系代数表达式可以等价的转换为元组表达式。由于所有的关系代数表达式都能用五个基本操作组合而成，因此，只要把五个基本操作能用元组演算表达式表达就行。例如：R ∪ S 可用 ｛t | R（t） ∨ S（t）｝表示；R – S 可用 ｛t | R（t） ∧ ┐S（t）｝表示。

 

关系运算的安全约束和等价性

       在数据库技术中，不产生无限关系和无穷验证的运算称为 安全运算，相应的表达式称为 安全表达式，所采取的措施称为 安全约束。在关系代数中，基本操作是投影、选择、并、差、笛卡尔积，没有集合的“补”操作，因此关系代数运算总是安全的。但关系演算则不然，可能会出现无限关系和无穷验证的问题，关系演算中必须有安全约束的措施，关系演算才算是安全的。

 

关系代数表达式的优化

       如何安排关系运算中的选择、投影和连接的顺序，才能做到既省时间又省空间，执行效率高，这就是关系代数表达式的优化需要解决的问题。

       设关系 R（A，B） 和 S（C，D）都是二元关系，若有一个查询可用关系代数表达式表示：E1 = πA（σB=C ∧ D = ‘99‘（R x S））；这就不是一个好的查询，若先对 S 进行选择再相乘，性能就会提高：E1 = πA（σB=C （R x σD = ‘99‘（S）））；再仔细分析可看出，笛卡尔积和其后的选择条件 B = C 可以合并成等值连接形式，更能进一步优化：E1 = πA（R ?? B=C σD = ‘99‘（S）））。注：此处红色的 B=C 应书写在 ?? 符号下面。

 

       许多系统采用启发式优化方法对关系表达式进行优化，这种优化策略与关系的存储技术无关，主要是讨论如何合理安排操作的顺序，花费较少的时间和空间，其基本思想可表现为三条启发式规则：

1. 尽可能早的执行选择操作。
2. 尽可能早的执行投影操作。
3. 避免直接做笛卡尔积，把笛卡尔积操作之前和之后的一连串选择和投影合起来一起做。