由陌生到认识——微积分

Posted 读书叔叔

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了由陌生到认识——微积分相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

你好,微积分,希望可以认识你…

呃!同学,你好,你想认识我,得先认识导数和积分,我其实是导数和积分的合体。

嗯!好吧!那我先了解一下什么是导数吧!

导数是什么?什么是导数?

导数是用来分析变化的一种工具。

那么,什么是变化率呢?首先变化就是变化的意思。例如孙悟空的七十二变,有七十二般变化。变化率是指在某一变化过程中的变化势头(是激烈还是缓慢),比如自行车爬坡的速度,从坡谷到坡顶的过程中,速度会随着功率输出和坡度的不同有不同的变化,速度变化最激烈是那一个点呢? 坡度也会变化,最陡最峭的是那一段呢? 这些,用导数就可以数值化表示。

导数有什么用?

现实生活中可以通过导数来推导很多变化趋势,及早规防、准备将进行的事,例如天气预报、股票分析、图像处理,又或者预测某人有无喝醉了酒,等等。

怎样计算导数呢?

求导数即是求变化率,比较形象的计算方法是计算一条斜坡的斜率,假如这个坡没有高低起伏,像一条斜线,则它的斜率是恒定的,计算也很简单,从中(a)取一段距离(x),用x距离后的位置减取x时的位置除以x就是计算这段距离的斜率的方法,写成公式: 斜 率 = ( f ( a + x ) − f ( a ) ) / x 斜率 = (f(a+x) - f(a)) / x =(f(a+x)f(a))/x

大家好,下面有位新人叫“极限”

求导,里面有一个称为“极限”的东西,什么是“极限”呢? 比如做俯卧撑,一直做下去,总有一个数是你不能达到,但又可以无限接近的,这个数就是你做俯卧撑的极限,当你无限接近这个极限时你会出现什么情况,这个情况就是“导数”,千万不要把手都撑断了。

导数公式

y = f ( a ) y=f(a) y=f(a) 的斜率可以这样表示: lim ⁡ x → 0 f ( a + x ) − f ( a ) x \\lim^ _x \\to 0\\fracf(a+x) - f(a)x limx0xf(a+x)f(a)

这个公式叫做函数f(a)的导函数,意思是: 当x无限接近0时,变化的结果是什么。

导函数可以用 f ′ ( a ) f'(a) f(a)表示,读做“f撇a”。

完整的导函数式: f ′ ( a ) = lim ⁡ x → 0 f ( a + x ) − f ( a ) x f'(a) = \\lim^ _x \\to 0\\fracf(a+x) - f(a)x f(a)=limx0xf(a+x)f(a) 这个公式称为基本求导公式

导数还有另外一种表示方法,对函数f(x)关于x的求导,可以表示为: d y d x \\fracdydx dxdy

也可以表示为: d f ( x ) d x \\fracdf(x)dx dxdf(x)

以可以表示为: d d x f ( x ) \\fracddxf(x) dxdf(x)

这里的d是英语“derivative(导数)"的第一个字母,上面几种方法表示对分子中的函数求关于分母中的变量的导数,与f撇的写法区别是,它明确表示出关于什么求导。

导数简单计算公式

  1. p ′ = 0 p' = 0 p=0 p为常数时,没有变化,所以p的导数是0。
  2. $(px)’ = p $ p为常数,关于x求导,实际是求直线的斜率,直线的倾斜p,斜率就是p,所导数为p。
  3. f ( x ) + g ( x ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) f(x) + g(x)' = f'(x) + g'(x) f(x)+g(x)=f(x)+g(x) 对两个函数的和——f(x)+g(x)求导会得到f’(x)+g’(y),这个是重要公式。
  4. ( x n ) ′ = n x ( n − 1 ) (x^n)' = nx^(n-1) (xn)=nx(n1) 这是使用很频繁的公式,可以通过基本求导公式推导出来。
  5. f ( x ) g ( x ) ′ = f ( x ) ′ g ( x ) + f ( x ) g ( x ) ′ \\f(x)g(x)\\' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)' f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 这是函数积求导的公式

导数的结尾

到此,大概也认识了导数,通过多点练习去加深印象吧,下面我们说说积分。

Hello,大家好,轮到我积分出场了,我这个积分可不是大家在某场所消费后获得的分数呵!

什么是积分?

积分是导数的逆运算,二者就像硬币正反面,也像镜外的实体和镜中的影像。利用积分可以求出变化的规律和不规则图形的面积。

哈哈! 积分最早就是用来求圆形的面积的。

积分的表示方法

用符号 ∫ \\int 表示积分,这个符号和 f f f 有点相似, 笔画比 f f f 少了一小点,大家还记得导数的符号吗?
导数的符号 f ′ f' f, 它比 f f f多了一点,导数积分的中分正是原函数。

看看下面两个式子:
  1. 读法: 求函数f(x)关于x的积分,表示法: ∫ f ( x ) d x \\intf(x)dx f(x)dx

  2. 读法: 求函数f(x)关于y的积分, 表示法: ∫ f ( x ) d y \\intf(x)dy f(x)dy

通过式子可以知道,求关于什么的积分,这个“什么”就要写 d d d后面,例如上面求关于x时写成 d x dx dx

积分计算

积分是导数的逆运算,逆运算是倒过来算的意思,如果要计算 ∫ f ( x ) d x \\intf(x)dx f(x)dx, 只需要考虑“关于x求导得到f(x)的函数是什么",就可以算出积分。

来点例子?

∫ x 2 d x \\intx^2dx x2dx : 关于x求导得到 x 2 x^2 x2 的函数是什么呢?用前面认识的求导公式计算
x 3 x^3 x3求导得多少? 是 3 x 2 3x^2 3x2, 想办法把3去掉,就可以得到 x 2 x^2 x2
( 1 3 x 3 ) ′ (\\frac13x^3)' (31x3)求导,就可以得到$(\\frac 13 \\times x^3)’ = \\frac13 \\times 3x^2 = x^2 $
所以上面关于 x 2 x^2 x2 求 x 的积分的解是: 1 3 x 3 \\frac13x^3 31x3

但是
求导后得到 x 2 x^2 x2的函数可不止 1 3 x 3 \\frac13x^3 31x3,例如 1 3 x 3 + 3 \\frac13x^3 + 3 31x3+3 1 3 x 3 + 4 \\frac13x^3 + 4 31x3+4 等等的原函数,经过求导后得到的也是 x 2 x^2 x2 , 因为对常数项求导等于0, 上面公式: p ′ = 0 p' = 0 p=0

所以,如果只说求积分,我们可以得到很多答案,为此,人们想出了一种汇集所有答案的表示方法:

∫ x 2 d x = 1 3 x 3 + C \\intx^2dx = \\frac13x^3 + C x2dx=31x3+C (C 称为积分常数,是英文单词:Constant(常数) 的首字母)

重点:含有积分常数的积分叫做不定积分。 因为常数有无限多个,所以用“不定”来表达。

对比一下:

  • 对f(x)求导得到的函数叫做导函数——导数。

  • 对f(x)的求不定积分得到的函数叫原函数——积分。

  • 导数表示变化,积分是变化的集合。

从不定积分到定积分

很少会有求不定积分的题目,都说了“不定”,无法求出具体答案的,求积分时,通常要增设一些条件,通过条件巧妙地把积分常数C消掉,固定了条件的积分称为“定积分”。