排列组合

Posted 2023-02-04 wyply115

分类相加，分步相乘；

一、由站队案例引出的经典排列组合问题(捆绑法、插空法)

1、相邻元素（捆绑法+插空法）

（1）、5 名男运动员，3 名女运动员参加田径比赛，要求 3 名女生必须连续出场的安排共有多少种？（A）
A.4320  B.5040   C.720   D.40320   E.2520
  解析：用排列，捆绑法，P66P33 = 4320
（2）、某人参加射击比赛，共射击 8 枪，命中 4 枪，其中恰有 3 枪连中的有（ C）种.
A.36  B.24  C.20  D.28  E.19
  解析：捆绑+插空法，恰有3抢，恰字表示不包含4抢连中；
  思路一：中4抢分两组，一个连续3抢，一个1抢； 将这两组插入4个不中的5个空中；因为两组不一样则有顺序关系，即为排列：则P52 = 20
  思路二：分步操作：第一步取两空，第二部组内排序；5个空取出两个空，因为空是一样的，则取两个空为C52；另中的两组不一样有顺序关系，则22；两步相乘 C52P22 = 20

2、不相邻元素（插空法）

（1）、现有 10 名学生，其中 6 名男生、4 名女生，将这 10 名学生排成一排照相，女生不能相邻的
情况共（ B）种.
A.302400  B.604800   C.151200   D.86400   E.3628800
  解析：6名男生全排列为P66；4名女生在6个男生空隙里全排列为：P74
  总共：P66*P74 = 604800

3、排除法

（1）、甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排队，则甲不在排头且乙不在排尾；有（ C）种不同的排队方
法。
A.720  B.600   C.504   D.480   E.360
  解析：6个位置，排甲，分两类
  第一类：甲在排尾时：此时不用考虑乙，则P55=120
  第二类：甲不在排尾时：需要分布：
    第一步：甲在剩余四个位置选一个，则C41
    第二步：乙在剩余四个位置选一个，则C41
    第三步：剩余4个人全排列：则P44
    则分步相乘：C41C41P44 = 384
  分类相加，则总：120+384 - 504

4、住店问题

（1）、将 2 个不同红球与 1 个白球随机放入甲乙丙三个盒子中，乙盒中至少有一个红球的放法有（D）种.
A.27  B.21   C.18   D.15   E.12
  解析：将三个球看做人，三个盒子当作酒店，题目明显是住店问题；则可以分开考虑每个人怎么放即可；
  另，题目为至少有一个红球，则可用反向排除法；
  题目没说不能放同一个盒子，因此每个球均有三种可能，总计C31C31C31 = 27;
  乙没有红球的方法：第一个红球可以放入甲和丙，即C21
第二个红球一样也是C21,第三个白球可以任意放C31,则总计223 = 12
  则排除法：27-12 = 15

5、看电影问题（相邻或不相邻）

（1）、有两排座位，前排 6 个座，后排 7 个座，若安排 2 人就座，规定前排中间2 个座位不能坐，且此 2 人始终不能相邻而坐，则不同的坐法种数为（ C）.
A.92  B.93   C.94   D.95   E.96
  解析：
  A  B  |C  D|  E  F
G  H  I  J  K  L  M 
  如上图，CD不能坐，由题可知，考虑相邻的然后用排除法比较好算；
  总计：P22C11,2 =110;
  相邻得可能性可以枚举出来：AB,EF,GH,HI,IJ,JK,KL,LM总共8中，两个人可以互换，则总计P228 = 16
  最后算出：110-16 = 94

6、数字问题

（1）、从 1、2、3、4、5、6 中任取 3 个数字，能组成可被 3 整除的无重复数字的3 位数有（D).
A.18 个  B.24 个  C.36 个  D.48 个  E.96 个
 解析：分步，
 第一步：找出哪三个数可以被3整出，枚举出来：123；126；135；156；234；246；345；456；共8种；
 第二步：三个数全排列为P33
 则总的为：8P33 = 48
（2）、在小于 1000 的正整数中，不含数字 2 的正整数的个数是（D）A.640  B.700  C.720  D.728  E.729
 解析：可分类
 第一类：一位数的，总计8种，（要求正整数，所以不含0）
 第二类：两位数，十位数不能为0和2，有8种，个位数可以是0不能为2有9种，则两位数总计89 = 72
 第三类：三位数，百位数有8种，十位和个位都有9种，则899=648
 则总计：648+72+8 = 728

7、分组与分堆问题（均匀无名称分组需要消序，除以组数全排列即可）

（1）、本不同的杂志，平均分成三份，每份 2 本，有（ D）种分法.
A.90  B.45  C.30  D.15  E.12
 解析：因为是均匀无名称分组，则需要除以P33
 因此，C62C42C22/P33 = 15
（2）、6 本不同的杂志，平均分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，有（A）种分法.
A.90  B.45  C.30  D.15  E.12
 解析：由于有名称不需要消序，因此C62C42C22=90
（3）、6本不同的杂志，分成三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本，有（B）种分法.
A.90  B.60  C.45  D.30  E.10
 解析：虽然无名称但是不是均匀的，因此C61C52C33 = 60
（4）、6本不同的杂志，分成三份，有两份每份 1 本，另一份 4 本，有（D）种分法.
A.90  B.45  C.30  D.15  E.12
 解析：由于无名称，分组是有部分均匀，因此也需要部分消序
 均匀部分有两组，因此最后除以P22
 则，C61C51C44/P22 = 15

8、不同元素分组问题（先分组再分配）

（1）、某大学派出 4 名志愿者到西部 3 所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配
方案共有（C ）种.
A.72  B.48  C.36  D.18  E.15
 解析：先分组，C41C31C22/P22 = 6 （分组部分均匀，则需要消序）
 再分配：三组对三所中学全排列即可P33 = 6
 66 = 36
（2）、将 5 封不同的信投入 3 个邮筒，信全部投完，且每个邮筒至少投入一封信，则共有（ E）种。
A. 120  B.210  C.320  D.180  E.150
 解析：先分组，5封信分组有两类，1、1、3 和1、2、2；
 则总分组数等于，C51C41C33/P22 + C51C42C22/P22 = 10+15 = 25
  再分配，P33 = 6
  25 * 6 = 150
（3）、从 5 个不同的黑球和 2 个不同的白球中，任选 3 个球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子 1 球，
其中至多有 1 个白球的不同放法共有（ D）种。
A.160   B.165   C.172   D.180   E.182
  解析：可从正面或反面两种方式来做：
  正面：之多有1个白球分两类，第一类 没有白球；第二类 只有1个白球
  没有白球时：C53P33 = 60; 只有1个白球时：C52C21P33 = 120
  则正面两种情况总数位：60+120 = 180；
  反面：总数 -有两个白球的数量
  总数为：C73P33 = 210; 有两个白球数量：C22C51*P33 = 30
  则反面计算为，210-30 = 180

9、相同元素分组问题（隔板法）

（1）、将 10 只相同的球随机放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中，则不同的投放方法有（ E）
种.
A.172   B.84   C.296   D.108  E.286
  解析：因为随机放入，则有四大类：
  4个盒子均有球：小球分4份，选盒子C44，分球C93（10个球9个空插3个板）
  3个盒子有球：小球分3份，选盒子C43，分球C92（10个球9个空插2个板）
  2个盒子有球：小球分2份，选盒子C42，分球C91（10个球9个空插1个板）
 1个盒子有球：小球分1份，选盒子C41，分球C90（10个球9个空插0个板）
 总计：C44C93+C43C92+C42C91+C41C90 = 286
（2）、已知 x, y,z 为正整数，则方程 x + y + z =10 不同的解有（A ）组.
A.36  B.84  C.96  D.108  E.129
 解析：两种思路，第一种元素隔板法；第二种数字穷举法
 第一种：xyz当作三个容器，10看做10个相同小球
  xyz为正整数，则每个容器至少有一个小球，则10个小球隔板分三组C92 = 36
 第二种：xyz为正整数，且和为10，可以先找出哪些数字组合等于10
  （1、2、7）（1、3、6）（1、4、5）（1、1、8）（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（3、3、4）总计8组，然后每一组三个数据全排列给x、y、z即可，注意，有相同数字的需要消序，因此总计为：6+6+6+3+3+6+3+3 = 36