盒子与小球系列题解

Posted 2023-02-03 TSOI_Vergil

     盒子与小球，NOI网站题库的一系列题，可在NOI题库中提交。

     盒子与小球二：N个有差别的盒子（1<=N<=20）。你有A个红球和B个蓝球。0 <= A <= 15, 0 <= B <= 15。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。

     我们可以设计一个状态，F[i][j][k]表示前i个盒子中放了A个红球，B个蓝球的方案数，那么考虑转移，对于当前这个盒子，我们可以放若干个红球和若干个蓝球，即F[i][j][k]=西格玛（F[i-1][j-l][k-w]），其中l<=j，k<=w，这样状态量N^3，转移N^2，总复杂度为N^5，可以过掉，不过我还看到有更好的方法，在提问里。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long f[22][16][16],ans;
int n,A,B;

int main()

	f[0][0][0]=1;
	scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
	for (int i=1;i<=n;i++) 
		for (int j=0;j<=A;j++) 
			for (int k=0;k<=B;k++) 
			
				for (int l=0;l<=j;l++) 
					for (int w=0;w<=k;w++) 
						f[i][j][k]+=f[i-1][j-l][k-w];
			//	printf("%d %d %d %d\\n",i,j,k,f[i][j][k]);
			
	for (int j=0;j<=A;j++) 
		for (int k=0;k<=B;k++) ans+=f[n][j][k];
	printf("%lld\\n",ans);
	return 0;	

    盒子与小球三：有N个相同的球，M个不同的盒子，每个盒子最多放K个球 ，请计算将这N个球全部放入盒子中的方案数模1000007后的结果 ，N<=5000，M<=5000。

    我们可以设计状态F[i][j]表示前i个盒子放j个求有多少种方法，那么F[i][j]=西格玛（F[i-1][j-l]），l的范围是[0,k]，状态量是N^2，转移是O(K)，复杂度是O(N*M*K)，TLE，我们考虑优化转移，我们发现其实l的范围是固定的，类似于一个滑动窗口，那么我们可以维护一个sum，sum=西格玛（F[i-1][j-l]），在j增加后，我们令sum=sum-F[i-1][j-k]+F[i-1][j+1]，这样就做到了O(1)转移，时间复杂度O(N*M)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 5005
#define mod 1000007
int f[maxn][maxn];
int n,m,k,sum;

int main()

	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=0;i<=m;i++) f[i][0]=1;
	for (int i=1;i<=m;i++) 
	
		sum=i;
		for (int j=1;j<=n;j++)
		
		/*	for (int l=0;l<=k;l++) 
			
				if (j<l) break;
				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-l])%mod;
			*/
			f[i][j]=sum;
			sum=(sum+f[i-1][j+1])%mod;
			if (j-k>=0) sum=(sum-f[i-1][j-k]+mod)%mod; 
		//	printf("%d %d %d\\n",i,j,f[i][j]);
		
	
	printf("%d\\n",f[m][n]);
	return 0;	

   盒子与小球四：给定N个各不相同的小球，和M个不同的BOX，有多少种不同的放球方法，使得每个BOX里的小球个数不小于Ｋ。N,M,K均小于15。

   这道题的小球也不相同了，那么我们考虑用隔板法，我们可以先默认小球是一样的，爆搜出所有隔板的组合，当我们知道了每个盒子装几个小球后，我们有一个公式：有n1个a1,n2个a2....ni个ai，不同的排列数为（n1+n2+..+ni）!/(n1!+n2!+....+ni!)，这样只要我们爆搜出所有的隔板组合，我们就能O(1)的知道这种组合的方案数，对于K=0的特殊情况，我们没有了任何限制，那么每个球都有M种选择，那么答案就是M^N。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,r,k;
long long c[20],jj[20],ans;

void dfs(int last,int cnt)

	if (cnt==r) 
	
		long long temp=1,res=n;
		for (int i=1;i<cnt;i++) 
		
			temp=temp*jj[c[i]];
			res-=c[i];
		
		temp*=jj[res];
		if (res<k) return;
		ans+=(jj[n]/temp);
		return;
	
	for (int i=last;i<n;i++) 
	
		c[cnt]=i-last+1;
		if (c[cnt]<k) continue;
		dfs(i+1,cnt+1);	
	


int main()

	jj[0]=1;
	for (int i=1;i<=15;i++) jj[i]=jj[i-1]*i;
	while (1) 
	
		ans=0;
		scanf("%d%d%d",&n,&r,&k);
		if (n==0&&r==0&&k==0) break;
		if (k==0) 
		
			ans=1;
			for (int i=1;i<=n;i++) ans=ans*r;
			printf("%lld\\n",ans);
			continue;
		
		dfs(1,1);
		printf("%lld\\n",ans);
	
	return 0;