卷积到底是怎么卷的

Posted 2023-02-01 冰不语

卷积，这个词大家应该都不陌生，数学中傅立叶变换的时候，物理中信号处理的时候，图像处理中滤波的时候、提取边缘的时候，还有深度学习中卷积神经网络的时候，处处可见卷积的影子。卷积在图像处理中的应用非常广泛，可以说理解了卷积，就可以理解图像处理算法的半壁江山，也不知道这个说法是否夸张了。

但是都说卷积卷积，那卷积到底是怎么个卷法呢？本文尝试解答这一问题。

理解的卷积计算过程

想要理解卷积，一些必要的数学公式是少不了的，放心吧，就下面这一个公式了，所有讨论围绕这一个公式展开。

我们从维基百科中对于卷积的解释引入：

设：$f(x)$,$g(x)$ 是 $R$上的两个可积函数，作积分：

${\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\mathrm{d}\tau$

可以证明，关于几乎所有的 $\\displaystyle x\\in (-\\infty ,\\infty ) $，上述积分是存在的。这样，随着 $x$ 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数$ \\displaystyle h(x)$ ，称为函数 $f$ 与 $g$的卷积，记为 $h(x)=(f\ast g)(x)$。

我们提取下重点公式写在下面，记为公式1：

$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(1)}$$

以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在于，在等式的左边，自变量是$x$，然而等式的右边自变量却变成了$\tau$，更令人疑惑的是——右边自变量不是$x$是$\tau$也就算了,竟然还出现了一个$x$。

那么问题来了，$x$和$\tau$，到底哪个在变？还是两个都在变？如果是都在变，那到底是怎么个变法？

这些问题还是需要慢慢道来。我们先看一个卷积稍微通俗一点的解释。

卷积

（1）即是通过两个函数$f$和$g$生成第三个函数的一种数学算子。

（2）表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的的曲边梯形的面积。

上面两句话都非常重要，我们从第二句话开始看，第二句话中包含了以下四个重点信息：

• 翻转
• 平移
• 乘积
• 积分（函数围成的面积不就是积分么？）

我们一个一个来看。先看右边，我们不妨先令$x=x_0$， 也就是$x$不变而$\tau$变的情况。于是公式1就变成了公式2：

$$h(x_0)=(f\ast g)(x_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(2)}$$

1. 翻转

先看翻转，怎么翻转一个函数呢，想一下最简单的$f(\tau )=\tau$，不难发现，$f(\tau )$翻转之后即为$f(-\tau )$。我用Python画出了这俩函数的图像，看起来更为直观。

2. 平移

然后看一下一个函数如何平移，仍然以$f(\tau )=\tau$为例，回一下我们中学学过的数学知识，也许还能记起来，$f(x_0-\tau )$就是由$f(-\tau )$向右平移$x_0$得到的。我们仍然以图说话，用Python作图如下，$x_0$分别取值为$20,40,60,80$。

3. 乘积

现在我们只看公式的右边部分：

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现在我们可以知道$g(x_0-\tau )$就是$g(\tau )$翻转之后又向右平移了$x_0$个单位。这时候需要考虑另一个函数$f(\tau )$了。这里 我们继续举个例子，不妨令$f(\tau )=sin(\frac{\tau }{10})$。

我们继续用Python画出$f(\tau )g(x_0-\tau )$如下图所示：

4. 积分

现在是较为完整的公式3的样子了，这里为了能够更好地表达，我们把区间从$(-\infty ,\infty )$改为$(-50,50)$，即画出

KaTeX parse error: \\tag works only in display equations

注意了，在上面的所有过程中，$x$一直是不变的，变的是$\tau$。即我们上面一直是在做的是公式2右边的计算，公式2如下：

$$h(x_0)=(f\ast g)(x_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x_0-\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(2)}$$

不论$\tau$怎么变化，最后一旦积分，等式右边就成了一个确定的数字，一个常量。一个$x$对应一个$y$嘛。此时我们可以继续看公式左边了，我们直接看公式1：

$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(x-\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(1)}$$

左边换下位置我们也许会更好理解，即$(f\ast g)(x)=h(x)$。也即之前提到的一句话：卷积即是通过两个函数$f$和$g$生成第三个函数的一种数学算子。

总结一下，卷积计算过程可以分解为四步：翻转、平移、乘积、积分。

卷积为什么叫“卷积”？

1. 卷积之【卷】

那么问题来了？卷积为什么要叫“卷积”呢？换言之，卷积之“卷”和卷积之“积”分别是什么含义？

这里想像一下如果我们要卷起一张A4纸，需要怎么做？

（1）首先我们需要提起对着自己一条边，向上翻转使之对着自己身体前方——翻转！

（2）然后继续向下打个圈之后，就可以向前推了——平移！

看到没？翻转！平移！

你肯定还记得上面说的卷积计