什么是《平衡二叉树》
Posted
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了什么是《平衡二叉树》相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
昨天在网上看了一些解释《平衡二叉树:它的左右子树都是平衡二叉树，且两者深度之差不超过1 》总觉得和大学讲的不一样。
今天早上看数据结构书的解释，说平衡二叉树首先是一个二叉搜索树，然后才有上面的解释。请问我说的对不对。以个二叉树是AVL树的前提条件是他首先要是以个二叉搜索树。
常用算法有：红黑树、AVL树、Treap等。
平衡二叉树的调整方法
平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是，则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。具体步骤如下：
⑴
每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值均不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；
⑵
若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；
⑶
判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点的关系，确定是哪种类型的调整；
⑷
如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或LR型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；
⑸
计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后的平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。 参考技术A 形态匀称的二叉树称为平衡二叉树
(Balanced
binary
tree)
，其严格定义是：
一棵空树是平衡二叉树；若
T
是一棵非空二叉树，其左、右子树为
TL
和
TR
，令
hl
和
hr
分别为左、右子树的深度。当且仅当
①TL
、
TR
都是平衡二叉树；
②
｜
hl
－
hr
｜≤
1；
时，则
T
是平衡二叉树。 参考技术B 平衡二叉树（balanced
binary
tree）又被称为avl树（有别于avl算法），且具有以下性质：它是一
棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。构造与调整方法
平衡二叉树的常用算法有红黑树、avl、treap、伸展树等。
最小二叉平衡树的节点的公式如下
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1
这个类似于一个递归的数列，可以参考fibonacci数列
1是根节点
f(n-1)是左子树的节点数量
f(n-2)是右子数的节点数量。 参考技术C 我觉得平衡二叉树，不一定必须是二叉搜索树。
但它的概念之所以提出来，就是为了提高搜索效率的
要求二叉树达到平衡，就是要在搜索的时候，不至于沿着某个子树搜索下去
极端不平衡的二叉树，退化成线性表了，搜索就变成“遍历”了本回答被提问者采纳 参考技术D
平衡二叉树（AVL）
那对图 1 进行下改造，把数据重新节点重新连接下，图 2 如下：
图 2 可以看到以下特性：
1. 所有左子树的节点都小于其对应的父节点（4，5，6）<（7）；（4）<（5）；（8）< （9）；
2. 所有右子树上的节点都大于其对应的父节点（8，9，10）>（7）；（6）>（5）；（10）>（9）；
3. 每个节点的平衡因子差值绝对值 <=1；
4. 每个节点都符合以上三个特征。
满足这样条件的树叫平衡二叉树（AVL）树。
问：那再次查找节点 5，需要遍历多少次呢？
由于数据是按照顺序组织的，那查找起来非常快，从上往下找：7-5，只需要在左子树上查找，也就是遍历 2 次就找到了 5。假设要找到叶子节点 10，只需要在右子树上查找，那也最多需要 3 次，7-9-10。也就说 AVL 树在查找方面性能很好，最坏的情况是找到一个节点需要消耗的次数也就是树的层数， 复杂度为 O(logN)
如果节点非常多呢？假设现在有 31 个节点，用 AVL 树表示如图 3：
图 3 是一棵高度为 4 的 AVL 树，有 5 层共 31 个节点，橙色是 ROOT 节点，蓝色是叶子节点。对 AVL 树的查找来看起来已经很完美了，能不能再优化下？比如，能否把这个节点里存放的 KEY 增加？能否减少树的总层数？那减少纵深只能从横向来想办法，这时候可以考虑用多叉树。
漫画：什么是平衡二叉树？
————— 第二天 —————
————————————
在红黑树当中，我们通过红色结点和黑色结点作为辅助，来判断一颗二叉树是否相对平衡。
而在AVL树当中，我们通过“平衡因子”来判断一颗二叉树是否符合高度平衡。
到底什么是AVL树的平衡因子呢？
对于AVL树的每一个结点，平衡因子是它的左子树高度和右子树高度的差值。只有当二叉树所有结点的平衡因子都是-1, 0, 1这三个值的时候，这颗二叉树才是一颗合格的AVL树。
举个例子，下图就是一颗典型的AVL树，每个节点旁边都标注了平衡因子：
其中结点4的左子树高度是1，右子树不存在，所以该结点的平衡因子是1-0=1。
结点7的左子树不存在，右子树高度是1，所以平衡因子是0-1=-1。
所有的叶子结点，不存在左右子树，所以平衡因子都是0。
上图原本是一个平衡的AVL树，当插入了新结点1时，父结点2的平衡因子变成了1，祖父结点4的平衡因子变成了2。
此时，结点4的左右子树高度差超过了1，打破了AVL树的平衡。
那么，怎样才能重新恢复AVL的平衡呢？
之前讲解红黑树的时候，我们提到红黑树包括左旋转、右旋转、变色这三种操作。
而AVL树不存在变色的问题，只有左旋转、右旋转这两种操作。
左旋转：
逆时针旋转AVL树的两个结点X和Y，使得父结点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。说起来有些绕，见下图（标号1,2,3的三角形，是结点X和Y的子树）：
图中，身为右孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。
右旋转：
顺时针旋转AVL树的两个结点X和Y，使得父结点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。见下图：
图中，身为左孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的右孩子。此为右旋转。
1. 左左局面（LL）
顾名思义，祖父结点A有一个左孩子结点B，而结点B又有一个左孩子结点C。标号1,2,3,4的三角形是各个结点的子树。
在这种局面下，我们以结点A为轴，进行右旋操作：
2. 右右局面（RR）
祖父结点A有一个右孩子结点B，而结点B又有一个右孩子结点C。
在这种局面下，我们以结点A为轴，进行左旋操作：
3. 左右局面（LR）
祖父结点A有一个左孩子结点B，而结点B又有一个右孩子结点C。
在这种局面下，我们先以结点B为轴，进行左旋操作：
这样就转化成了左左局面。我们继续以结点A为轴，进行右旋操作：
4. 右左局面（RL）
祖父结点A有一个右孩子结点B，而结点B又有一个左孩子结点C。
在这种局面下，我们先以结点B为轴，进行右旋操作：
这样就转化成了右右局面。我们继续以结点A为轴，进行左旋操作：
例子中，以结点4为根的子树出现了不平衡的情况。
不难看出，这个子树正好符合 “左左局面”。
于是，我们以结点4为轴，进行右旋操作：
这样一来，这颗AVL树重新恢复了高度平衡。
如上图所示，在AVL树中删除了结点1，导致父节点2的平衡因子变为-2，打破了平衡。
此时，以结点2为根的子树正好形成了“右左局面”，于是我们首先以结点4为轴进行右旋：
然后以结点2为轴进行左旋：
如此一来，AVL树重新恢复了高度平衡。
推荐阅读：
给个[在看]，是对小灰最大的支持！
以上是关于什么是《平衡二叉树》的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章