粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）
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粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）
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粒子滤波PF—从贝叶斯滤波到粒子滤波PF——Part-I（贝叶斯滤波）
在非线性条件下，贝叶斯滤波面临一个重要问题是状态分布的表达和积分式的求解，由前面章节中的分析可知,对于一般的非线性/非高斯系统,解析求解的途径是行不通的。在数值近似方法中，蒙特卡罗仿真是一种最为通用、有效的手段，粒子滤波就是建立在蒙特卡罗仿真基础之上的，它通过利用一组带权值的系统状态采样来近似状态的统计分布。由于蒙特卡罗仿真方法具有广泛的适用性，由此得到的粒子滤波算法也能适用于一般的非线性/非高斯系统。但是，这种滤波方法也面临几个重要问题，如有效采样(粒子)如何产生、粒子如何传递以及系统状态的序贯估计如何得到等。
简单的理解，粒子滤波就是使用了大量的随机样本，采用蒙特卡洛(MonteCarlo，MC)仿真技术完成贝叶斯递推滤波(Recursive Bayesian Filter)过程。因此本博客从贝叶斯滤波出发，简单介绍粒子滤波PF的出生、即应用
核心思想：是使用一组具有相应权值的随机样本(粒子)来表示状态的后验分布。该方法的基本思路是选取一个重要性概率密度并从中进行随机抽样，得到一些带有相应权值的随机样本后，在状态观测的基础上调节权值的大小。和粒子的位置，再使用这些样本来逼近状态后验分布，最后将这组样本的加权求和作为状态的估计值。粒子滤波不受系统模型的线性和高斯假设约束，采用样本形式而不是函数形式对状态概率密度进行描述，使其不需要对状态变量的概率分布进行过多的约束，因而在非线性非高斯动态系统中广泛应用。尽管如此，粒子滤波目前仍存在计算量过大、粒子退化等关键问题亟待突破。
1、贝叶斯滤波
考虑离散时间非线性系统动态模型，
x
k
=
f
(
x
k
−
1
,
w
k
−
1
)
z
k
=
h
(
x
k
,
v
k
)
(1)
x_k=f(x_k-1,w_k-1) \\\\ z_k=h(x_k,v_k ) \\tag1
xk=f(xk−1,wk−1)zk=h(xk,vk)(1)
其中
x
k
x_k
xk为
k
k
k时刻的目标状态向量，
z
k
z_k
zk为
k
k
k时刻量测向量（传感器数据）。这里不考虑控制器
u
k
u_k
uk。
w
k
w_k
wk和
v
k
v_k
vk分别是过程噪声序列和量测噪声序列。
w
k
w_k
wk和
v
k
v_k
vk为零均值高斯白噪声。
由于贝叶斯滤波的递推形式是基于非线性系统的后验概率密度，因此这里并不需要假设 w k w_k wk和 v k v_k vk为零均值高斯白噪声。而KF、EKF、CKF、QKF等需要假设过程、测量噪声为高斯白噪声。
因此基于贝叶斯滤波的粒子滤波可以处理非线性非高斯的状态估计问题。
定义
1
1
1 ~
k
k
k时刻对状态
x
k
x_k
xk的所有测量数据为
z
k
=
[
z
1
T
,
z
2
T
,
⋯
,
z
k
T
]
T
z^k=[z_1^T,z_2^T,\\cdots,z_k^T]^T
zk=[z1T,z2T,⋯,zkT]T
贝叶斯滤波问题就是计算对 k k k时刻状态 x x x估计的置信程度，为此构造概率密度函数 p ( x k ∣ z k ) p(x_k |z^k) p(xk∣zk)，在给定初始分布 p ( x 0 ∣ z 0 ) = p ( x 0 ) p(x_0|z_0)= p(x_0) p(x0∣z0)=p(x0)后，从理论上看，可以通过预测和更新两个步骤递推得到概率密度函数 p ( x k ∣ z k ) p(x_k |z^k) p(xk∣zk)的值。
是不是卡尔曼滤波的雏形出现了，哈哈哈，预测、更新也存在KF中。
1.1、 预测
现假定
k
−
1
k- 1
k−1时刻的概率密度函数已知，则通过将Chapman-Kolmogorov等式应用
于动态方程(1)，即可预测
k
k
k时刻状态的先验概率密度函数为
p
(
x
k
∣
z
k
−
1
)
=
∫
p
(
x
k
∣
x
k
−
1
)
p
(
k
−
1
∣
z
k
−
1
)
d
x
k
−
1
)
(2)
p(x_k |z^k-1)=\\int p(x_k |x_k-1)p(k-1 |z^k-1) dx_k-1) \\tag2
p(xk∣zk−1)=∫p(xk∣xk−1)p(k−1∣zk−1)dxk−1)(2)
实际上，状态转移方程写为概率密度的形式即为：
x
k
=
f
(
x
k
−
1
,
w
k
−
1
)
=
等价
p
(
x
k
∣
x
k
−
1
)
x_k=f(x_k-1,w_k-1) \\underset\\text等价= p(x_k |x_k-1)
xk=f(xk−1,wk−1)等价=p(xk∣xk−1)
式(2)中隐含假定了
p
(
x
k
∣
x
k
−
1
)
=
p
(
x
k
∣
x
k
−
1
,
z
k
−
1
)
p(x_k |x_k-1)= p(x_k |x_k-1, z^k-1)
p(xk∣xk−1)=p(xk∣xk−1,zk−1)，实际上这本身在这里就是成立的，基于(1)式的马尔可夫过程。
1.2、 更新
在获得
p
(
x
k
∣
z
k
−
1
)
p(x_k |z^k-1)
p(xk∣zk−1)的基础上，结合
k
k
k时刻得到的新的量测值，基于贝叶斯公式，可以计算
k
k
k时刻状态的后验概率密度函数:
p
(
x
k
∣
z
k
)
=
p
(
z
k
∣
x
k
)
p
(
x
k
∣
z
k
−
1
)
p
(
z
k
∣
z
k
−
1
)
(3)
p(x_k |z^k)=\\fracp(z_k |x_k)p(x_k |z^k-1)p(z_k |z^k-1) \\tag3
p(xk∣zk)=粒子滤波 particle filter —从贝叶斯滤波到粒子滤波——Part-I（贝叶斯滤波）
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粒子滤波 particle filter—从贝叶斯滤波到粒子滤波—Part-V（粒子滤波 PF）
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