应用统计学随机变量的概率分布，数学期望和方差及协方差

Posted 2023-01-11 古月书斋

一、概率分布

1、离散型随机变量的概率分布

 【例4-5】某厂对一批产品进行抽检,该批产品含有10件正品及3件次品。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。一件一件抽取产品进行检验，每次抽取的产品都不放回该批产品中，求直到抽得正品为止所需次数X的分布律。

解:由于每次抽取的产品不再放回，因此离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，X的分布律为

 2、连续型随机变量的概率分布

对任意的实数x，由随机变量的定义知，X<x是随机事件,可以对它求概率记F（x）=P（X<x).该函致就是随机变量的分布函数。分布函数的导数称为概率密度函数,记作f(x)

连续型随机变量的概率密度函数有以下的性质:

 

 

 二、数学期望

1、离散型随机变量的数学期望

2、连续型随机变量的数学期望

 3、随机变量函数的数学期望

 

 三、随机变量的方差

 随机变量方差的计算

四、随机变量的协方差 

 协方差的性质

 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y，X)

 (2)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

(3)D(X±Y)=D(X)+ D(Y)±2Cov(X,Y)

(4)Cov(aX,bY)= abCov(X,Y)

(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

(6）若X与Y相互独立,则Cov(X，Y)=0，即X与Y不相关.反之，若X与Y不相关，X与Y不一定相互独立;