连续随机向量的概率密度函数f(x1,...,xn)可以表示为n个相互独立函数g(x1)...g(xn)之积则其各个分量Xi相互独立推导过程中的关于C1...Cn=1的问题

Posted 2022-12-30 LaoYuanPython

在陈希孺老先生的概率统计教材中，关于连续随机变量的独立性有如下定理和推导过程：

老猿对C1…Cn=1想了半天都没想出来原因，干脆放弃了，今天又仔细思考了一下，终于明白是个很简单的问题，下面列一下推导过程：
$$\begin{gathered} C\mathrm{1...}Cn=({\int }_{-\infty }^{\infty }g(x_1)d{x}_1...{\int }_{-\infty }^{\infty }g(x_n)d{x}_n{)}^{n-1} \\ =({\int }_{-\infty }^{\infty }...{\int }_{-\infty }^{\infty }g(x_1)...g(x_n)d{x}_{1}d{x}_n{)}^{n-1} \\ =({\int }_{-\infty }^{\infty }...{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x_1,...,x_n)d{x}_1...d{x}_n{)}^{n-1} \end{gathered}$$

按照连续随机向量概率密度函数的定义，${\int }_{-\infty }^{\infty }...{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x_1,...,x_n)d{x}_1...d{x}_n$其值为1，因此可以得到C1…Cn=1。

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