如何求解一个矩阵的特征向量？

Posted 2023-04-24

参考技术A 把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。
扩展资料
求特征向量：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
判断矩阵可对角化的充要条件：
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量；
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。
求矩阵特征值的方法如下：
任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式：
其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。
由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。

numpy求解特征值和特征向量

特征值和特征向量

特征值就是方程Ax=ax的根, 是一个标量

特征向量是关于特征值的向量

Key_Function

np.linalg.eigvals函数, 计算矩阵的特征值

np.linalg.eig函数, 返回包含特征值和对应的特征向量的元组

Code

import numpy as np

A = np.mat("1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9")
print(A)
‘‘‘
[[ 1 -2  1]
 [ 0  2 -8]
 [-4  5  9]]
‘‘‘

b = np.array([0, 8, -9])
print(b)
‘‘‘
[ 0  8 -9]
‘‘‘

x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)
# [ 29.  16.   3.]

print(np.dot(A, x))
# [[ 0.  8. -9.]]

 

 

数学概念

 对于给定矩阵A，寻找一个常数λ（可以为复数）和非零向量x，使得向量x被矩阵A作用后所得的向量Ax与原向量x平行，并且满足Ax=λx。