机器学习中「正则化来防止过拟合」到底是一个啥原理？

Posted 2023-04-22

过度拟合的问题通常发生在变量（特征）过多的时候。这种情况下训练出的方程总是能很好的拟合训练数据，也就是说，我们的代价函数可能非常接近于 0 或者就为 0。但是，这样的曲线千方百计的去拟合训练数据，这样会导致它无法泛化到新的数据样本中，以至于无法预测新样本价格。在这里，术语"泛化"指的是一个假设模型能够应用到新样本的能力。新样本数据是指没有出现在训练集中的数据。

具体而言，我们可以人工检查每一项变量，并以此来确定哪些变量更为重要，然后，保留那些更为重要的特征变量。至于，哪些变量应该舍弃，我们以后在讨论，这会涉及到模型选择算法，这种算法是可以自动选择采用哪些特征变量，自动舍弃不需要的变量。这类做法非常有效，但是其缺点是当你舍弃一部分特征变量时，你也舍弃了问题中的一些信息。例如，也许所有的特征变量对于预测房价都是有用的，我们实际上并不想舍弃一些信息或者说舍弃这些特征变量。正则化中我们将保留所有的特征变量，但是会减小特征变量的数量级（参数数值的大小θ(j)）。这个方法非常有效，当我们有很多特征变量时，其中每一个变量都能对预测产生一点影响。正如我们在房价预测的例子中看到的那样，我们可以有很多特征变量，其中每一个变量都是有用的，因此我们不希望把它们删掉，这就导致了正则化概念的发生。

参考技术A

假设我们考虑一个最简单的线性模型，我们比较两个估计结果：(1) 最小二乘估计(2) 岭估计其中(2)中的第二项即可看成一个正则项。那么我们如何说明加入了这个正则项后，相较于来说，确实避免了过拟合呢？因为从数学上可以证明，，注意这里的小于是严格的小于。这里的证明是要用到矩阵范数和向量范数的相容性。这个性质本身告诉了我们这样一个及其重要的本质：加入正则项后，估计出的（向量）参数的长度变短了（数学上称为shrinkage）。换句话说，长度变短了就意味着，向量中的某些分量在总体程度上比的分量变小了。极端来说，向量中的某些分量可能（因为也可能是因为每个分量都变小一点点最后造成整体长度变小）被压缩到了0。虽然这里其实还没有完整说明我们实现了避免过拟合，但至少从某种程度上说，加入正则项和的参数估计是符合我们之前的预定目标的，即用尽量少的变量去拟合数据。

机器学习中的数学原理——过拟合正则化与惩罚函数

通过这篇博客，你将清晰的明白什么是过拟合、正则化、惩罚函数。这个专栏名为白话机器学习中数学学习笔记，主要是用来分享一下我在 机器学习中的学习笔记及一些感悟，也希望对你的学习有帮助哦！感兴趣的小伙伴欢迎私信或者评论区留言！这一篇就更新一下《 白话机器学习中的数学——过拟合、正则化与惩罚函数》

文章目录

• 一、过拟合
• 二、正则化
• • 2.1 正则化的方法
  • 2.2 正则化的效果
• 三、惩罚函数

一、过拟合

之前我们提到过的模型只能拟合训练数据的状态被称为过拟合，英文是 overfitting。记得在学习回归的时候，过度增加函数 fθ(x)的次数会导致过拟合。过拟合不止在回归时出现，在分类时也经常发生，我们要时常留意它。
避免过拟合有以下方法：

• 增加全部训练数据的数量
• 使用简单的模型
• 正则化

首先，重要的是增加全部训练数据的数量。之前我也讲过，机器学习是从数据中学习的，所以数据最重要。另外，使用更简单的模型也有助于防止过拟合。

二、正则化

2.1 正则化的方法

还记得我们在讲解回归的时候提到的目标函数吗？

我们要向这个目标函数增加下面这样的正则化项：

那么现在的$E(\mathbf{\theta })$就变为：

我们要对这个新的目标函数进行最小化，这种方法就称为正则化。
m 是参数的个数，不过一般来说不对 θ0 应用正则化。所以仔细看会发现 j 的取值是从 1 开始的。也就是说，假如预测函数的表达式为 fθ(x) = θ0 + θ1x + θ2x2，那么 m = 2 就意味着正则化的对象参数为 θ1 和 θ2，θ0 这种只有参数的项称为偏置项，一般不对它进行正则化。λ 是决定正则化项影响程度的正的常数。这个值需要我们自己来定。

2.2 正则化的效果

光看表达式可能不容易理解。我们结合图来想象一下吧:首先把目标函数分成两个部分。

C(θ) 是本来就有的目标函数项，R(θ) 是正则化项。 C(θ) 和 R(θ) 相加之后就是新的目标函数，所以我们实际地把这两个函数的图形画出来，加起来看看。不过参数太多就画不出图来了，所以这里我们只关注 θ1。而且为了更加易懂，先不考虑 λ。
我们先从C(θ) 开始画起，不用太在意形状是否精确。在讲回归的时候，我们说过这个目
标函数开口向上，还记得吗？所以，我们假设它的形状是这样的：

从图中马上就可以看出最小值在哪里，是在θ1 = 4.5 附近。

从这个目标函数在没有正则化项时的形状来看，θ1 = 4.5 附近是最小值。接下来是 R(θ)，它就相当于$\frac{1}{2}{\theta }_1^2$所以是过原点的简单二次函数。

实际的目标函数是这两个函数之和E(θ) = C(θ) + R(θ)，我们来画一下它的图形。顺便考虑一下最小值在哪里。把 θ1 各点上的 C(θ) 和 R(θ) 的高相加，然后用线把它们相连就好：

从图中我们可以看出来最小值是 θ1 = 0.9，与加正则化项之前相比，θ1 更接近 0 了。本来是在 θ1 = 4.5 处最小，现在是在 θ1 = 0.9 处最小，的确更接近 0 了。这就是正则化的效果。它可以防止参数变得过大，有助于参数接近较小的值。虽然我们只考虑了 θ1，但其他 θj 参数的情况也是类似的。
参数的值变小，意味着该参数的影响也会相应地变小。比如，有这样的一个预测函数 fθ(x):$$f_{\mathbf{\theta }}(\mathbf{x})={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2$$
极端一点，假设 θ2 = 0，这个表达式就从二次变为一次了，这就意味着本来是曲线的预测函数变为直线了：

这正是通过减小不需要的参数的影响，将复杂模型替换为简单模型来防止过拟合的方式。

三、惩罚函数

为了防止参数的影响过大，在训练时要对参数施加一些惩罚。比如上面提到的 λ，可以控制正则化惩罚的强度。$$\begin{array}{rl}& C(\mathbf{\theta })=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\left(y^{(i)}-f_{\mathbf{\theta }}\left({\mathbf{x}}^{(i)}\right)\right)}^2\\ & R(\mathbf{\theta })=\frac{\lambda }{2}\sum _{j=1}^m{\theta }_j^2\end{array}$$
比如令 λ = 0，那就相当于不使用正则化

λ 越大，正则化的惩罚也就越严厉：