寒假每日一题货币系统（个人练习）详细题解+推导证明（第十七天）

Posted 2022-12-15 我是管小亮

文章目录

• 前言
• 题目
• 详细题解
• • • • 写法1 $O(nm)$
      • 推导证明
      • 写法2 $O(nm)$
      • 推导证明
• 举一反三
• 总结

前言

今天是大年初三，但是感觉年已经过去了，哈哈。

今天的题我还忘记发了，

题目

给定 V 种货币（单位：元），每种货币使用的次数不限。

不同种类的货币，面值可能是相同的。

现在，要你用这 V 种货币凑出 N 元钱，请问共有多少种不同的凑法。

输入格式

• 第一行包含两个整数 V 和 N。
• 接下来的若干行，将一共输出 V 个整数，每个整数表示一种货币的面值。

输出格式

• 输出一个整数，表示所求总方案数。

数据范围

• $1\le V\le 25,$
• $1\le N\le 10000$
• 答案保证在long long范围内。

输入样例：
3 10
1 2 5
输出样例：
10

详细题解

写法1 $O(nm)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 30, M = 10005;

int n, m;
LL f[N][M];

int main()

    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i )
    
        int v;
        cin >> v;
        for (int j = 0; j <= m; ++ j )
        
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= v) f[i][j] += f[i][j-v];
        
    
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;

毫无疑问，这是一个动态规划的题目。

除此之外，这还是个经典的完全背包问题。

最后提交，AC😁

推导证明

首先需要划分两个情况：

• 一个是状态表示；
• 一个是状态计算；

每次划分的不同是最后一个位置能否整除v：

• f[i][j]等于每个位置减去n倍的v；
• 同理，f[i][j-v]等于除了f[i-1][j]的f[i][j]。

写法2 $O(nm)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 30, M = 10005;

int n, m;
LL f[M];

int main()

    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i )
    
        int v;
        cin >> v;
        for (int j = v; j <= m; ++ j )
            f[j] += f[j-v];
    
    cout << f[m] << endl;
    return 0;

最后提交，AC😁

推导证明

优化的方案是将二维数组变成一维数组，其实在意义上很难理解优化，所以只是一种等价替换。

• 首先去掉二维数组的第一个维度；
• 然后判断是否等价；
• 最后提交AC；

需要注意的是，由于是完全背包问题，所以每个硬币可以被无限次使用，即等价于：

for (int j = v; j <= m; ++ j )
	f[j] += f[j-v];

如果是01背包问题的话，就需要调整j的数据范围，

• 从大到小循环 f[j-v] 等价于 f[i-1][j-v]，
• 从小到大循环等价于 f[i][j-v]。

由于状态转移方程是 f[j] += f[j-v];，所以涉及到 f[j] 和 f[j-v] 的问题，后者一定前者，所以需要注意大小关系。

举一反三

同样的动态规划问题：【寒假每日一题】数字三角形（个人练习）详细题解+推导证明（第二天）

总结

继续努力，坚持更新，17th打卡。