现代信号处理 19 -谱分析的参数化方法

Posted 2022-12-14 Ciaran-byte

谱分析的参数化方法

文章目录

• 谱分析的参数化方法
• • 1. 非参数化方法与参数化方法
  • • 1.1 非参数化方法
    • 1.2 参数化方法
  • 2. 参数化方法模型的建立
  • • 2.1 有理谱
    • 2.2 模型的建立
    • 2.3 ARMA概述
    • 2.4 AR模型与MA模型
  • 3.AR模型
  • • 3.1 AR模型的求解
    • • 3.1.1 相关分析法
      • 3.1.2 最小二乘法
    • 3.2 AR模型的谱
    • 3.3 AR模型的阶与Capon谱
    • • 3.3.1 相关矩阵等式
      • 3.3.2 相关矩阵的分解
      • 3.3.3 相关矩阵与Capon谱
  • 4.MA模型
  • 5. ARMA模型
  • • 5.1 相关分析法
    • 5.2 Two-stage LS
  • 6. AR模型与最大熵优化
  • • 6.1 概述
    • 6.2 熵的表示
    • • 6.2.1 单个随机变量的熵
      • 6.2.2 多维随机变量的熵
      • 6.2.3 随机过程的熵
    • 6.3 最大熵优化
    • • 6.3.1 目标函数
      • 6.3.2 欧拉变分法
      • 6.3.3 拉格朗日数乘

1. 非参数化方法与参数化方法

1.1 非参数化方法

$$\text{Parametric Methods of Spectral Aanlysis}$$

  一般来说，谱分析的方法，包括参数化方法和非参数化的方法。

  我们可以思考一下之前做谱分析的思路。我们有N个离散的，有限长的数据，我们用这些数据来做功率谱估计

$$Z(k){}_{K=1}^N\Rightarrow {\hat{S}}_Z(\omega )\text{Direct Data Domain}$$

  我们做的时候，并没有对数据进行建模。是直接对数据域进行操作，然后得到了功率谱的估计。我们之前学过了一些谱分析方法，如周期图、滤波器组、Multitaper、Capon都是这样的。这些都是非参数化的谱分析方法。

1.2 参数化方法

  而我们还可以用其他方法来进行谱分析。我们可以首先通过有限长的离散数据，对数据进行建模，搞清楚这个数据来源于一个什么样的随机过程，然后再基于我们的模型，计算功率谱。

$$Z(k){}_{K=1}^N\Rightarrow \boxed{Model}\Rightarrow {\hat{S}}_Z(\omega )$$

  我们可以举一个形象的例子来说明参数化方法和非参数化方法。就相当于，我们做鱼，可以不看菜谱，直接放到水里煮一煮，虽然可能没有那么香，但是也好吃。我们也可以选择找一本菜谱，选择好一个适当的菜，按部就班的做。但是，如果我们步骤搞错了，鱼可能会做的很难吃，还比不上清水煮一煮。而如果步骤搞对了，鱼会做的非常好吃。

  非参数化方法就像清水煮一煮，结果虽然准确性不一定很高，但是也不会错的特别离谱。而参数化的方法，如果模型建立对了，得到的结果准确性会非常好，而一旦模型建立的有问题，得到的结果可能会完全不对。对于非参数化方法来说，性能分数可能是六七十分的及格分。而参数化方法得到的确实非九十及二十的极端分布。

  参数化方法的优缺点是非常明显的。

• 优点：性能好 Performance
• 缺点：数据失配 Mismatch

$$\begin{gathered} \text{Pros: Performance} \\ \text{Cons: Mismatch} \end{gathered}$$

  参数化方法具体的思路就是先用数据去估计模型的参数，然后用模型的参数去估计功率谱

2. 参数化方法模型的建立

2.1 有理谱

  使用参数化方法，就必须建立一个合适的模型，我们的模型需要有这样的两个要求

• 普适性：对很多的谱都可以进行逼近
• 简便性：必须方便处理和计算

  我们会通过有理谱的方式对功率谱进行描绘。所谓有理谱，就是我们的功率谱密度是一个有理的分式。其中P是一个多项式。Q是另外一个多项式。

$$\begin{gathered} \text{Rational Spectrum } \\ {S}_Z(\omega )\Rightarrow S_Z(\omega )=\frac{P(\omega )}{Q(\omega )}\Rightarrow \text{Universal and Simple} \\ P(\omega )=\sum _k{p}_{i}exp(j\omega k)Q(\omega )=\sum _k{q}_{i}exp(j\omega k) \end{gathered}$$

  我们使用有理分式的方法去作为模型描绘功率谱是否满足模型建立的两个条件呢?

  首先是通用性，多项式可以逼近任何一种连续谱。我们加上分母以后，对连续谱的刻画能力会更强。能够在多项式次数比较低的情况下就完成刻画

  同时，多项式本身也比较简单。能够满足我们普适、简单的条件。

2.2 模型的建立

  既然使用有理分式进行建模是可行的，下面我们就使用有理分式去进行建模。

  因为，功率谱是大于等于0的，所以，我们对我们的多项式也有要求，多项式必须也大于等于0。因此，我们可以把我们的多项式写作更低次有理分式模平方的形式

$$\begin{gathered} S_Z(\omega )\ge 0\Rightarrow \frac{P(\omega )}{Q(\omega )}=|\frac{B(\omega )}{A(\omega )}{|}^2 \\ P(\omega )=\sum _k{p}_{i}exp(j\omega k)Q(\omega )=\sum _k{q}_{i}exp(j\omega k) \end{gathered}$$

  我们希望我们这个低阶有理分式的系数是1，就是k=0的时候，得到的结果是1。我们可以通过提出一个系数的方式来实现。这里符号就不换了。

$$S_Z(\omega )=|\frac{B(\omega )}{A(\omega )}{|}^2={\sigma }^2|\frac{B(\omega )}{A(\omega )}{|}^2(i)$$

  我们得到的式子(i)有三部分组成，分别是：一个常数，一个分式、一个模的平方。这个分式的样子其实非常像传递函数。

  对于随机信号的功率谱，我们有这样的认识

• 随机信号的功率谱与相关函数是傅里叶变换对的关系
• 宽平稳随机过程通过线性时不变系统之后，功率谱密度的变化等于输入的功率谱密度乘以传递函数模的平方
• 宽平稳随机过程可以写成谱表示的形式

  如果我们把(i)式子看做是一个功率谱乘以一个传递函数模的平方，我们就可以通过找到输入量是什么随机过程，然后得到输出的是一个什么随机过程。

  从(i)式可以看出，输入随机过程的功率谱是个常数。而白噪声的功率谱是常数，因此，我们可以把这个模型当做白噪声通过一个线性系统来看待

$$\begin{gathered} S_Z(\omega )=|\frac{B(\omega )}{A(\omega )}{|}^2={\sigma }^2|\frac{B(\omega )}{A(\omega )}{|}^2 \\ \Rightarrow e(k)\to \boxed{\frac{B(\omega )}{A(\omega )}}\to Z(k) \end{gathered}$$

  其中

Z ( k ) = H ( e ( k ) ) H ( Z ) = B ( Z ) A ( Z ) ⇒ B ( Z ) = ∑ k = 0 n − 1 β k Z k β 0 = 1 A ( Z ) = ∑ k = 0 m − 1 α k Z k α 0 = 1 Z(k) = H(e(k)) \\\\ H(Z) = \\fracB(Z)A(Z) \\Rightarrow \\begincases B(Z) = \\sum_k=0^n-1 \\beta_k Z^k & \\beta_0 = 1 \\\\ \\\\ A(Z) = \\sum_k=0^m-1 \\alpha_k Z^k & \\alpha_0 = 1 \\endcases Z(k)=H(e(k))H(Z)=A(Z)B(Z)​⇒⎩⎪⎨⎪<