HPU树状数组入门

Posted 2022-12-14 skywalker767

树状数组（Binary Indexed Tree）

Author: Skywalker

Creation time：2021/8/10 21:28

Last update：2021/8/12 21:10

文章目录

• • 树状数组（Binary Indexed Tree）
  • • 情景引入
    • 前置知识
    • 树状数组
    • 练习题目
    • 参考资料

情景引入

---

在处理一段区间的和的时候，我们可以通过前缀和算法来提高运算效率，除去预处理，能做到每次询问$o(1)$​​算出，这个时间复杂度是极其优秀的，但是如果修改一个点后，再次询问一段区间的和，我们发现，最坏情况下，我们要更新$n$​次数组，我们不能接受。那么，如何快速的询问一段区间的长度，并且修改的时候更新速度也要足够优秀，这时候，就体现出了树状数组算法的优越性。

即:能以$o(logn)$的时间复杂度进行单点修改，以$o(logn)$的时间复杂度进行区间查询。

$log$​级别的算法是极其可靠的。$2^{31}log$​后也不过是$31$​而已（这边的$log$是以$2$为底）。

前置知识

---

顾名思义，树状数组是根据树形结构来优化运算，从而达到可观的时间复杂度，我们需要一些工具来进行遍历树的每个节点，来方便我们的运算。

**lowbit函数的定义：**lowbit函数的作用是返回二进制下最后一位$1$​代表的十进制数，例如：$12(1100)$​，那么他的最后一位$1$​所代表的十进制数就是 $4(100)$​。

lowbit函数的实现:

int lowbit(int n)

				return n & (-n); 

lowbit函数的证明:
$$\begin{gathered} 设x的最低位的1在第k位，那么0～k-1位都是0 \\ -x=(\sim x+1)取反加一，取反后0\sim k-1都会变成1，+1后，则0\sim k-1又消成了0 \\ 第k位变成1,前面都是原来的取反的结果，则为一个零，一个一，取与后为0 \\ 得证 \end{gathered}$$

lowbit只是一个工具，证明有兴趣可以考虑，无兴趣可看可不看。

树状数组

---

铺垫了一点点，下面来到我们的树状数组，下面将从：树状数组的理论基础，树状数组的代码实现，树状数组的用途来进行叙述。

树状数组的理论基础：

树状数组 = 前缀和 + 二进制拆分

• 每个内部节点$c[x]$保存以它为根的子树的所有节点和。
• 每个内部节点$c[x]$保存的节点个数等于lowbit(x)的位数。
• 除树根外，每个内部节点$c[x]$的父节点是c[x + lowbit(x)]。
• 树的深度为$O(log(n))$​

以上性质来自算法进阶指南.

$$\begin{gathered} c[x]保存的是序列a的区间[x-lowbit+1,x]的和 \\ 即：\sum _{i=x-lowbit(x)-1}^{x}a[i] \end{gathered}$$

树状数组的代码实现：
树状数组支持的基本操作是查询前缀和，即序列第1～x个数的和，[1 , x]已经被划分成了$log(N)$​个小区间，而每个区间，都在$c$​数组中，所以查询区间前缀和的代码如下，其时间复杂度为$O(logN)$​.

• 查询操作，查询a[1 ～ x]的和

int query(int x)

    int ans = 0;
    for(int i = x;i >= 1;i -= lowbit(i)) ans += c[i];
    return ans;

当然，如果查询$l\sim r$​的前缀和，我们可以利用前缀和思想,$query(r)-query(l-1)$​​

树状数组支持的第二个操作是单点增加，在$x$位置加上value后，树状数组只需要$log(N)$的时间复杂度，维护树状结构和其性质。

• 单点插入 ， 在x位置插入一个值v

void add(int x , int v)

    for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)) c[i] += v;

至此，树状数组的两大基础操作，已经全部概述完毕，下面是树状数组的应用。

树状数组的应用：

• 因为其独特的结构，用于存储，修改，和查询，前缀和能有很好的效果
• 求逆序对

若$i<j$​​​,且$a[i]>a[j]$​​​,则称$a[i]$​​与$a[j]$​​​​构成逆序对，我们已知的逆序对求法较为优秀的算法是归并排序，然而，树状数组也可以做到。

可以正序求出逆序对，也可以逆序遍历求出逆序对，这边给出的是逆序求逆序对的方法。

1. 在序列$a$的数值范围上建立树状数组，对于每个$a[i]$，累加到答案$ans$中。
2. 执行单点增加操作，把位置$a[i]$​上出现的数加上1，相当于($tr[a[i]]++$​)。

for(int i = n; i ; i --)

    ans += query(a[i] - 1);
    add(a[i] , 1);

3. ans即为所求

树状数组的拓展应用：

利用差分知识，我们可以维护区间修改，单点查询，篇幅有限，这里不展开了。

练习题目

题目名称	考察知识点
Sort it(例题1)	树状数组求逆序对
Inversion	离散化，树状数组求逆序对
敌兵布阵(例题2)	树状数组模版题
Japan	树状数组求逆序对
Matrix	二维树状数组
A Simple Problem with Integers	树状数组+差分+推公式
Stars	树状数组求逆序对
Mobile phones	二维树状数组
Bubble Sort	树状数组，思维
空间大师	树状数组，二分

例题1代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x & (-x))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000;

int n;
int a[N + 10];
LL tr[N + 10];

LL query(int x)

    LL ans = 0;
    for(int i = x;i >= 1;i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
    return ans;


void add(int x , int v)

    for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)) tr[i] += v;


int main()

    while(~scanf("%d" , &n))
    
        LL ans = 0;
        memset(tr , 0 , sizeof tr);
        for(int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d" , &a[i]);
        for(int i = n; i ;i --)
        
            ans += query(a[i] - 1);
            add(a[i] , 1);
        
        printf("%lld\\n" , ans);
    
    return 0;

例题2代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x & (-x))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 50010;

int n , t;
int a[N];

LL tr[N + 10];

LL query(int x)

    LL ans = 0;
    for(int i = x;i >= 1;i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
    return ans;


void add(int x , int v)

    for(int i = x;i < N;i += lowbit(i)) tr[i] += v;


int main()

    scanf("%d" , &t);
    for(int ii = 1;ii <= t;ii ++)
    
        memset(tr , 0 , sizeof tr);
        
        scanf("%d" , &n);
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        
            scanf("%d" , &a[i]);
            add(i , a[i]);
        
        
        printf("Case %d:\\n" , ii);
        
        int x , y;
        string op; 
        while(cin >> op)
        
            if(op == "End") break;
            scanf("%d %d" , &x, &y);
            
            逆序对的三种求法(归并排序，树状数组，线段树)

 树状数组的操作
 CCPC河南省赛-C|树状数组dfs序上处理子树问题 + 离散化
 树状数组的基础知识
 算法笔记 - 树状数组 （Fenwick tree）
 luogu3242 接水果 (整体二分+树状数组)