EOJ 2021.10 E.异或树

Posted 2022-12-13 solemntee

E. 异或树

方法一：先开一个大根堆。然后$dfs$一遍, 建出可持久化字典树, 并且每个点把自己和祖先的异或最大值扔进堆。循环$k$次, 每次从堆中弹出最大值, 假设被弹出的点已经被弹出来了$x$次, 则在字典树上搜它的第$x+1$大的异或值, 再扔进堆里即可。时间复杂度$O(30n+k(logn+30))$

1.这道题里面也体现了一个技巧就是做第k大值(k<$1e6$)常见都方法就是维护一个优先队列每次取出最大值然后更新。
2.这道题第x节点都可持久化字典树表示的是从根开始到x节点链上的点组成都字典树。虽然在这边这种方式和查询x节点的子树对应的字典树等价，但实际上这种方法在处理树链问题的时候可以省下树链剖分的一个log

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct

    int vis[2];
    int num;
trie[30000005];
int tot;
int root[5000005];
int insert(int x,int rt)

    int Root=++tot;
    int now=root[rt];
    for(int i=30;i>=0;i--)
    ///这边根据范围确定，在此处第一位是(1>>30)也就是2^31
    
        int ch=(x>>i)&1;

        trie[tot]=trie[now];
        trie[tot].vis[ch]=tot+1;
        trie[tot].num++;

        now=trie[now].vis[ch];
        tot++;
    
    trie[tot]=trie[now];
    trie[tot].num++;
    return Root;
    ///这样写得原因是方便建树root[x]=insert(a[x],i-1);

int query(int x,int k,int rt)
///查询x在root[rt]为根的可持久化字典树中异或第k大

    int now=root[rt];
    int ans=0;
    for(int i=30;i>=0;i--)
    
        int ch=(x>>i)&1;
        if(trie[trie[now].vis[!ch]].num>=k)
        
            now=trie[now].vis[!ch];
            ans|=(1<<i);
        
        else
        
            k-=trie[trie[now].vis[!ch]].num;
            now=trie[now].vis[ch];
        
    
    return ans;

struct node

    int val,id,now;
    bool operator < (const node &ths)const
    
        if(val!=ths.val)return val<ths.val;
        if(now!=ths.now)return now<ths.now;
        return id<ths.id;
    
;
int dep[1000005],fa[1000005],a[1000005];
vector<int>v[1000005];
priority_queue<node>q;
void dfs(int x,int pre)

    if(pre!=0)
    
        dep[x]=dep[pre]+1;
        fa[x]=pre;
        q.push(query(a[x],1,fa[x]),x,1);
    
    root[x]=insert(a[x],pre);
    for(auto to:v[x])if(to!=pre)
    
        dfs(to,x);
    

vector<int>ans;
int main()

    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<n;i++)
    
        int tu,tv;
        scanf("%d%d",&tu,&tv);
        v[tu].push_back(tv);
        v[tv].push_back(tu);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    dfs(1,0);

    for(int i=1;i<=k;i++)
    
        node p=q.top();
        q.pop();
        ans.push_back(p.val);
        if(p.now<dep[p.id])q.push(query(a[p.id],p.now+1,fa[p.id]),p.id,p.now+1);
    
    for(auto x:ans)printf("%d\\n",x);
    return 0;

方法二：先建立可持久化字典树，然后二分第k大值，随后暴力遍历所有字典树获得答案。