BZOJ 2159 「国家集训队」Crash 的文明世界（第二类斯特林数，换根DP）BZOJ计划

Posted 2022-12-12 繁凡さん

整理的算法模板合集： ACM模板

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实际上是一个全新的精炼模板整合计划

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2159

是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

Problem

Crash 小朋友最近迷上了一款游戏——文明5 (Civilization V)。在这个游戏中，玩家可以建立和发展自己的国家，通过外交和别的国家交流，或是通过战争征服别的国家。

现在 Crash 已经拥有了一个 $n$ 个城市的国家，这些城市之间通过道路相连。由于建设道路是有花费的，因此 Crash 只修建了 $n-1$ 条道路连接这些城市，不过可以保证任意两个城市都有路径相通。

在游戏中，Crash 需要选择一个城市作为他的国家的首都，选择首都需要考虑很多指标，有一个指标是这样的：

$$S(i)=\sum _{j=1}^n\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(i,j{)}^k$$

其中 $S(i)$ 表示第 $i$ 个城市的指标值，$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(i,j)$ 表示第 $i$ 个城市到第 $j$ 个城市需要经过的道路条数的最小值，$k$ 为一个常数且为正整数。

因此 Crash 交给你一个简单的任务：给出城市之间的道路，对于每个城市，输出这个城市的指标值，由于指标值可能会很大，所以你只需要输出这个数$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10007$ 的值。

$1\le n\le 5\times 10^4$ ，$1\le k\le 150$。

Solution

没有边权的无根树^q^

当 $k=1$ 时显然是经典的换根DP。

考虑如何处理 ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}^k$。

我们知道第二类斯特林数 $S(n,m)=\begin{array}{c}n\\ m\end{array}$ 满足

$$m^n=\sum _{i=0}^n\begin{array}{c}i\\ n\end{array}i!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)$$

则有：

$$\begin{array}{rl}{S}_x& =\sum _{i=1}^n\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}(i,x{)}^k\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=0}^k\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}(i,x)}{j}\right)j!\\ & =\sum _{j=0}^k\begin{array}{c}k\\ j\end{array}j!\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}(i,x)}{j}\right)\\ & =\sum _{j=0}^k\begin{array}{c}k\\ j\end{array}j!\sum _{i=1}^n\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}(i,x)-1}{j}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}(i,x-1)}{j-1}\right)\right)\end{array}$$

考虑继续做换根DP。

设 $f[x,j]$ 表示以 $x$ 为根的子树中，上述表达式的后半部分的答案。

显然有转移方程：

$$f[x,j]=\sum _{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\in \mathrm{x}\_\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}f[\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n},j]+f[\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n},j-1]$$

预处理之后直接进行换根DP即可。

时间复杂度 $O(nk)$

Code