Codeforces Round #726 div.2 A-F题解

Posted 2022-12-12 欣君

视频讲解：BV1Hy4y1M74u

A. Arithmetic Array

题目大意

给定一个包含 $n$ 个整数的数组 $a$ ，求最少需要向数组 $a$ 中添加多少个非负整数，使得数组的算术平均数恰好等于 $1$ 。

题解

设 $sum={\sum }_{i=1}^n{a}_i$ ，有以下两种情况：

1. 若 $sum<n$ ，则再添加一个数值为 $n-sum+1$ 的元素，即可成立；
2. 若 $sum\ge n$ ，则再添加 $sum-n$ 个 $0$ 元素，即可成立；

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

int main()

	int T,n,x,sum,i;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	
		scanf("%d",&n);
		sum=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		
			scanf("%d",&x);
			sum+=x;
		
		if(sum-n<0)
			printf("1\\n");
		else
			printf("%d\\n",sum-n);
	

B. Bad Boy

题目大意

在一个 $n$ 行 $m$ 列的网格上，初始在 $(i,j)$ 位置，每次可以向上下左右四个方向之一移动一格。
现在在网格上任意位置放置两个悠悠球，求如何放置这两个悠悠球，使得从 $(i,j)$ 出发，捡到两个悠悠球，再回到初始位置的路径最长。

题解

两个悠悠球在对角的两个角落，即 $(1,1)$ 和 $(n,m)$ 位置，或 $(1,m)$ 和 $(n,1)$ 位置，总路程最长，均为 $2n+2m$ 。输出任意解即可。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

int main()

	int T,n,m,i,j;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	
		scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&i,&j);
		printf("%d %d %d %d\\n",1,1,n,m);
	

C. Challenging Cliffs

题目大意

给定 $n$ 座山，每座山的高度为 $h_i$ 。将其按任意顺序排列在一条直线上，从左到右编号为 $1$ 到 $n$ 。
求 $|h_1-h_n|$ 最小时，满足条件 $h_i<h_{i+1}(1\le i<n)$ 的 $i$ 最多时的排列方案。

题解

将 $h_i$ 递增排序后，必定有最多的 $i$ 满足 $h_i<h_{i+1}(1\le i<n)$ 。
接下来考虑使得 $|h_1-h_n|$ 最小，找到最小的 $h_{j+1}-h_j$ ，将第 $j+1$ 到 $n$ 座山全部移到第 $1$ 座山前面即可。
注意如果只有两座山时，由于代码写法不同，可能需要特殊考虑。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

const int MAXN=200200;
int h[MAXN];

int main()

	int T,n,i,mn,id;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&h[i]);
		sort(h+1,h+n+1);
		mn=h[n]-h[1];
		id=n;
		for(i=1;i<n;i++)
		
			if(h[i+1]-h[i]<mn)
			
				mn=h[i+1]-h[i];
				id=i;
			
		
		for(i=id+1;i<=n;i++)
			printf("%d ",h[i]);
		for(i=1;i<=id;i++)
			printf("%d ",h[i]);
		puts("");
	

D. Deleting Divisors

题目大意

Alice 和 Bob 进行博弈游戏。
初始给定一个正整数 $n$ ，每轮将其减去 $x$ ， $x$ 为 $n$ 的因数且不为 $1$ 或 $n$ ，无法操作时失败，Alice先手。
双方均采用最优策略，求谁获胜。

题解

$n$ 有以下三种状态：

1. 奇数；
2. 不为 $2$ 的整数次幂的偶数；
3. $2$ 的整数次幂；

对于奇数，其只能变成不为 $2$ 的整数次幂的偶数。证明：

• 设 $n=xy$ ，减去一个合法因数 $x$ 后， $n-x=x(y-1)$ ，其中 $x$ 为奇数，因此 $n-x=x(y-1)$ 必定是不为 $2$ 的整数次幂的偶数。

对于不为 $2$ 的整数次幂的偶数，有以下两种变化方案：

1. 减去一个奇因数 $x1$ ，变成奇数；
2. 减去一个偶因数 $x2$ ，变为偶数；

若执行方案1，减去一个奇因数 $x1$ ，变成奇数后，则对手只能将其再减去一个奇数变回不为 $2$ 的整数次幂的偶数，或直接面对一个奇素数的必败状态。
因此不为 $2$ 的整数次幂的偶数是必胜状态，奇数是必败状态。

对于 $2$ 的整数次幂 $2^k$，有以下两种变化方案：

1. 减去 $2^p(1\le p\le k-2)$ ，变为不为 $2$ 的整数次幂的偶数 $2^p\ast (2^{k-p}-1)$ ，即必胜状态；
2. 减去 $2^{k-1}$ ，变为 以上是关于Codeforces Round #726 div.2 A-F题解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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