网易视频云技术分享:Reed Solomon纠删码

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       纠删码是存储领域常用的数据冗余技术,相比多副本复制而言,纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性。 Reed Solomon Coding是存储领域常用的一种纠删码,它的基本原理如下:给定n个数据块d1, d2,…, dnn和一个正整数m RS根据n个数据块生成m个校验块, c1, c2,…, cm对于任意的nmn个原始数据块和m个校验块中任取n块就能解码出原始数据,RS最多容忍m个数据块或者校验块同时丢失(纠删码只能容忍数据丢失,无法容忍数据篡改,纠删码正是得名与此)。

编码原理
       RS
编码以word为编码和解码单位,大的数据块拆分到字长为wword(字长w取值一般为8或者16位),然后对word进行编解码。所以数据块的编码原理与word编码原理没什么差别,为论述方便,后文中变量Di, Ci将代表一个word
首先,把输入数据视为向量D=(D1D2…, Dn, 编码后数据视为向量(D1, D2,…, Dn, C1, C2,.., Cm)RS编码可视为如图1所示矩阵运算。下图最左边是编码矩阵,矩阵上部是单位阵(nn列),下边是vandermonde矩阵B(mn), vandermode矩阵如图2所示,i行,第j列的原数值为j^(i-1)。之所以采用vandermonde矩阵的原因是, RS数据恢复算法要求编码矩阵任意n*n子矩阵可逆。

1 RS纠删码编码运算

数据恢复原理
RS
最多能容忍m个删除错误。数据恢复原理的过程如下:
1)从编码矩阵中删去丢失数据块和丢失编码块对应行。假设D1C2丢失,根据图1所示RS编码运算等式,我们得到如下B’以及等式。


2vandermode矩阵

2)由于B‘是可逆的,两边乘上B’逆矩阵。

3 )得到如下原始数据 D 的计算公式


4 )对 D 重新编码,得到丢失的校验码

      矩阵求逆采用高斯消元法,需要进行实数加减乘除四则运算,无法作用于字长为w的二进制数据。为了解决这个问题, RS采用伽罗华群GF2^w)中定义的四则运算法则。 GF(2^w)域有2^w个值,每个值都对应一个低于w次的多项式,这样域上的四则运算就转换为多项式空间的运算[2] GF(2^w)域中的加法就是XOR乘法比较特殊,需要维护两个大小为2^w -1的表格: loggflog,反loggfilog

乘法公式: a * b = gfilog(gflog(a) + fglog(b)) % (2^w -1)

CRS(Cauchy Reed Solomon)

      RS纠删码的计算代价较高,瓶颈在于乘除法,乘除法操作需要3次查表操作,一次加(减)法操作,一次条件判断,一次取模操作(可优化为一次条件判断和一次减法操作)。 CRS从两个方面优化RS性能
(1)
使用Cauchy编码矩阵, Cauchy编码矩阵的好处是求逆矩阵比较快
(2)
GF(2^w)中的运算全部转换为XOR其中的数学原理比较复杂,可参见文献[3]

小结

RS的特点:
(1)
低冗余度,高可靠性。
(2)
数据恢复代价高。丢失数据块或者编码块时, RS需要读取n个数据块和校验块才能恢复数据,数据恢复效率也在一定程度上制约了RS的可靠性。
(3)
数据更新代价高。数据更新相当于重新编码,代价很高,因此常常针对只读数据,或者冷数据。
(4) RS
编码依赖于两张2^w-1大小的log表,通常只能采用16位或者8位字长,不能充分利用64位服务器的计算能力,具体实现上可能要做一些优化。


参考文献:
[1]James S. Plank. Erasure Codes For Storage Application.
[2]James S. Plank. A Tutorial on Reed-Solomon Coding for Fault-Tolerance inRAID-like Systems
[3]James S. Plank. Optimizing Cauchy Reed-Solomon Codes for Fault-TolerantStorage Applications

 

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