K-means聚类与EM算法

Posted 2022-12-09 Terry_dong

 

一，本文关注以下内容：

• K-means的原理

• 初始类中心的选择和类别数K的确定

• K-means和EM算法、高斯混合模型的关系

   

 

 二：K-means的原理

 

K-means（K均值聚类）是一种基于中心的聚类算法，通过迭代，将样本分到K个类中，使每个样本与其所属类中心的距离之和最小。

 

1 定义损失函数

假设我们有一个数据集｛x1, x2,..., xN｝，每个样本的特征维度是m维，我们的目标是将数据集划分为K个类别。

假定K值已经给定，第k个类别的中心定义为μk，k=1,2,..., K，μk是一个m维的特征向量。

我们需要找到每个样本所属的类别，以及一组向量｛μk｝，使每个样本与其所属类别的中心μk的距离之和最小。

聚类需要根据样本之间的相似度，对样本集合进行划分，将相似度较高的样本归为一类。

可以通过计算样本之间的欧氏距离、马氏距离、余弦距离或相关系数，来衡量样本之间的相似度。

而K-means是用欧氏距离的平方来度量样本之间的相似度。欧式距离的平方公式如下：

接着，把所有样本与所属类中心的距离平方和，定义为损失函数：

其中rnk∈0,1，n=1,2,...,N，k=1,2,...,K，如果rnk=1，那么表示样本xn属于第k类，且对于j≠k，有rnj=0，也就是样本xn只能属于一个类别。

于是我们需要找到｛｝和｛｝的值，使得距离平方之和J最小化。

 

2 进行迭代

K-means是一种迭代算法，每次迭代涉及到两个连续的步骤，分别对应rnk的最优化和μk的最优化，也对应着EM算法的E步（求期望）和M步（求极大）两步。

首先，为μk选择一些初始值，也就是初始化K个类中心。

然后，执行以下两个步骤，直至收敛。

第一步：保持​​​​​​​固定，选择来最小化J，也就是把样本指派到与其最近的中心所属的类中，得到一个聚类结果。

第二步：保持固定，计算​​​​​​​来最小化J，也就是更新每个类别的中心。

具体来说，也就是E步和M步：

E步：在类中心μk已经确定的情况下，最优化 

这一步比较简单，我们可以分别对每个样本xn进行最优化。

将某个样本分配到第k个类别，如果该样本和第k个类别的距离最小，那么令rnk=1。

对N个样本都这样进行分配，自然就得到了｛｝，使所有样本与类中心的距离平方和最小，从而得到了一个聚类结果。

M步：确定了数据集的一种划分，也就是确定｛｝后，最优化

目标函数J是μk的一个二次函数，令它关于μk的导数为零，就可以求得使目标函数达到最小值的μk，即

解出μk的结果为：

这个μk就是类别k中所有样本的均值，所以把这个算法称为K均值聚类。

重新为样本分配类别，再重新计算每个类别的均值，不断重复这两个步骤，直到聚类的结果不再改变。

需要注意以下几点：

• K-means可能收敛到目标函数J的局部极小值，不能保证收敛到全局最小值。

• 聚类之前，需要对数据集进行标准化，使样本的均值为0，标准差为1。

• 初始类中心的选择会直接影响聚类结果，选择不同的初始类中心，可能会得到不同的聚类结果。

• K均值聚类算法的复杂度是O(mnk)，m是样本的特征维度，n是样本个数，k是类别个数。

 

 

 三：初始化类中心和确定类别数

 

K-means的思想比较简单，关键在于初始类中心的选择和类别数K的确定，这对聚类的结果有比较大的影响。

1.初始化类中心

（一）第一种方法

用层次聚类法进行初始聚类，然后把这些类中心作为K均值聚类的初始类中心。

层次聚类的复杂度为O(mn3)，m是样本的特征维度，n是样本个数，复杂度也是蛮高的，那为什么用层次聚类的结果来初始化类中心呢？

我想是因为层次聚类的结果，完全是由算法确定的，是一个客观的结果。这样就把K-means的初始类中心的选择问题，由主观决定变成了客观决定。

（二）第二种方法

首先随机选择一个点，作为第一个初始类中心点，然后计算该点与其他所有样本点的距离，选择距离最远的点，作为第二个初始类的中心点，以此类推，直到选出K个初始类中心点。

2 类别数K的确定

（一）轮廓系数

轮廓系数（Silhouette Coefficient）可以用来判定聚类结果的好坏，也可以用来确定类别数K。

一个好的聚类结果，要能保证类别内部样本之间的距离尽可能小（密集度），而类与类之间样本的距离尽可能大（离散度）。

轮廓系数就是一个用来度量聚类的密集度和离散度的综合指标。

轮廓系数的计算过程和使用如下：

①计算样本xi到同类Ck其他样本的平均距离ai，将ai称为样本xi的簇内不相似度，ai越小，说明样本xi越应该被分配到该类。

②计算样本xi到其他类Cj所有样本的平均距离，j=1, 2 ,..., K，j≠k，称为样本xi与类别Cj的不相似度。

定义样本xi的簇间不相似度：=min, bi2, ...,bij,..., ，j≠k，bi越大，说明样本xi越不属于其他簇。

③根据样本xi的簇内不相似度ai和簇间不相似度bi，定义样本xi的轮廓系数si，作为样本xi分类合理性的度量。

④轮廓系数范围在[-1,1]之间，该值越大，聚类结果越好。

si接近1，则样本xi被分配到类别Ck的结果比较合理；si接近0，说明样本xi在两个类的边界上；si接近-1，说明样本xi更应该被分配到其他类别。

⑤计算所有样本的轮廓系数si的均值，得到聚类结果的轮廓系数S，作为聚类结果合理性的度量。轮廓系数越大，聚类结果越好。

⑥使用不同的K值进行K均值聚类，计算各自的轮廓系数S，选择较大的轮廓系数所对应的K值。

（二）肘部法则

K-means的损失函数，是所有样本到类别中心的距离平方和J，也就是误差平方和SSE：

从类别数K=1开始，当类别数K小于真实的类别数时，随着类别数的增大，SSE会快速地下降。

而当类别数到达真实类别数的临界点后，SSE开始缓慢下降，也就是说SSE和K的关系曲线一个肘部形状，这个肘部所对应的K值可以认为是合适的类别数。

那么我们选择不同的K值，训练多个模型，然后计算模型的SSE，选择SSE开始缓慢下降时的K值，作为聚类的类别数。

如下图，可以选择4或5作为聚类的类别数。

 

 

 三：与EM、GMM的关系

 

这一部分，需要EM算法和高斯混合模型的前置知识。

这篇是我在博客园上总结的：《聚类之高斯混合模型与EM算法》

1 要点总结

关于K-means与EM算法、高斯混合模型的关系，主要有以下三点：

1：K-means是一种非概率的聚类算法，属于硬聚类方法，即一个样本只能属于一个类（类与类之间的交集为空）。

相比之下，高斯混合模型（GMM）是一种基于概率的聚类算法，属于软聚类方法，每个样本按照一个概率分布，属于多个类。

2：K-means在一次迭代中的两个步骤，可以看做是EM算法的E步和M步。

而且K-means可以看做，用EM算法对⾼斯混合模型进行参数估计的⼀个特例，也就是高斯混合模型中分模型的方差σ2相等，为常数，且σ2→0时的极限情况。

3：K-means和基于EM算法的高斯混合模型，对参数的初始化值比较敏感。

由于K-means的计算量远小于基于EM算法的高斯混合模型，所以通常运⾏K-means，来找到⾼斯混合模型的⼀个初始值，再用EM算法进行调节。

具体而言，用K-means划分K个类别，再用各类别样本所占的比例，来初始化K个分模型的权重；用各类别中样本的均值，来初始化K个高斯分布的期望；用各类别中样本的方差，来初始化K个高斯分布的方差。

2  从图形来理解

为了理解以上几点，尤其是第2点，我们可以先从图形来看。

假设高斯混合模型由4个高斯分布混合而成，高斯分布的密度函数如下。。

Ø(y|θk)是第k个高斯分布的概率密度，被称为第k个分模型，参数为θk=(μk, αk2)。

令均值μ=[0,2,4,6]，方差σ2=[1,2,3,1]，则4个高斯分布的概率密度函数的图形如下。

我们可以看到，4个图形之间有重叠的部分，也就说明每个样本可以按照一个概率分布αk，属于多个类，只是属于某类的概率大些，属于其他类的概率小些。

这表明高斯混合模型是一种软聚类方法。

然后令均值μ不变，方差σ2=[0.01, 0.01, 0.01, 0.01]，也就是4个分模型的方差σk2相等，而且σk2→0，那么4个高斯分布的图形如下。

每个高斯分布的图形之间没有交集，那么每个样本只属于一个类，变成了硬聚类。

这也就是高斯混合模型的特例：K-means。

3 从公式来理解

用EM算法对高斯混合模型进行极大似然估计，在E步，我们需要基于第i轮迭代的参数θ(i)=(αk, μk, σk)来计算，是第j个样本yj来自于第k个高斯分布分模型的概率，k=1,2,...,K。

在高斯混合模型中，γj是一个K维的向量，也就是第j个样本属于K个类的概率。假设分模型的方差σk2都相等，且是一个常数，不需要再估计，那么在EM算法的E步我们计算γjk

考虑σ2→0时的极限情况，如果样本yj属于第k类的概率最大，那么该样本与第k类的中心点的距离非常近，(yj - μk)2将会趋于0，于是有：

也就是样本yj属于第k类的概率近似为1，属于其他类别的概率近似为0，也就成为了一种硬聚类，也就是K-means。

其实在σ2→0的极限情况下，最大化高斯混合模型的完全数据的对数似然函数的期望，等价于最小化K均值聚类的目标函数J。

比如有4个高斯分布，样本yj的γj为[0.55, 0.15, 0.2, 0.1]，那么属于第1类的概率γj1最大。

而当分模型的方差σ2→0时，样本yj的γj可能为[0.98, 0.01, 0.005, 0.005]，也就是该样本直接被分配到了第1类，成为了硬聚类。

附：绘图代码

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np

""" 1: 4个高斯分布的均值 """ 
u1 = 0   
u2 = 2
u3 = 4
u4 = 6

""" 2: 4个高斯分布的标准差 """
sig1 = math.sqrt(1)  
sig2 = math.sqrt(2)
sig3 = math.sqrt(3)
sig4 = math.sqrt(1)

def x(u,sig):
    return np.linspace(u - 5*sig, u + 5*sig, 100)

x1 = x(u1,sig1)
x2 = x(u2,sig2)
x3 = x(u3,sig3)
x4 = x(u4,sig4)

""" 3: 概率密度 """ 
def y(x,u,sig):
    return np.exp(-(x - u) ** 2 /(2* sig**2))/(math.sqrt(2*math.pi)*sig)

y1 = y(x1,u1,sig1)
y2 = y(x2,u2,sig2)
y3 = y(x3,u3,sig3)
y4 = y(x4,u4,sig4)

plt.plot(x1, y1, "r-")
plt.plot(x2, y2, "g-")
plt.plot(x3, y3, "b-")
plt.plot(x4, y4, "m-")
plt.xticks(range(-6,16,2))
plt.show()

 

参考资料：

1、《统计学习方法》（第二版）

2、《Pattern Recognition and Machine Learning》