GAN的统一架构与WGAN

Posted 2022-12-09 Young_Gy

• 原始GAN
• 统一架构
  • f divergence
  • fenchel conjugate
  • connect with gan
  • 其他
• WGAN
  • 介绍
  • 优势
  • weight clipping
  • gradient penalty

GAN是让机器自动生成$P_G$去接近$P_data$。算法的关键是衡量分布$P_G,P_data$的差异，不同的衡量办法得到的$V(G,D)$不同，但是所有的衡量方法都可以归纳到一个统一的框架中：利用f-divergence衡量两个分布差异，利用Fenchel Conjugate将两个分布差异的问题转化到GAN的大框架中。
而近段异常流行的WGAN，便是将两个分布的差异用Earch Mover Distance衡量，然后用weight clipping或gradient penalty优化梯度计算，取得了非常好的效果。

原始GAN

原始GAN的演算法如下，通过discriminator的loss与js divergence相关联。

统一架构

f divergence

衡量两个分布的差距有多种方法，这些方法基本上都属于同一个架构f divergence。如下，$D_f (P||Q)$通过包含$f$函数的积分评估了两个分布的差异：

$$D_f (P||Q) = \\int_x q(x) f(\\fracp(x)q(x)) dx$$

$f$函数满足的条件如下（满足这样的条件，$D_f (P||Q)$的最小值当且仅当两个分布完全相同时为0）：

• $f$是凸hanshu
• $f(1)=0$

不同的f函数会得到不同的divergence，但是都属于f divergence这个大框架中，区别只是f函数的不同。

fenchel conjugate

每一个凸函数$f$，都有与其conjugate的函数$f^*$，$f^*$的定义如下：

举例如下：

connect with gan

那么一个问题随之而来：f divergence以及fenchel conjugate与GAN到底有什么联系呢？

首先，f divergence提供了一种度量两个分布差异的方式；然而，f divergence需要知道pdf，生成分布的pdf不容易得到；这时候通过f的fenchel conjugate对原来的差异公式进行变换，引入额外的变量D（也就是discriminator），转化成找到令值最大的D的问题，最终化成GAN类似的形式。具体化简过程如下：

总的来说，f divergence以及fenchel conjugate的价值在于：构建了两个分布的f divergence，通过fenchel conjugate将divergence转化为$max_D V(G,D)$的问题，自然而然地与GAN关联了起来。

其他

GAN的训练在原始paper中是两次循环，f-divergence的paper中是一次循环。

不同的f函数得到的分布差异也不一样，如下：

KLD与JSD相比，对多分布的拟合效果较好：

WGAN

介绍

前面介绍了用f-divergence去度量两个分布的差异，WGAN与传统GAN的区别就是度量分布差异的方式不同。WGAN使用了earth mover's distance，顾名思义，就是把一个分布变成另外一个分布需要花的力气。earth mover's distance的定义如下：

优势

WGAN的优势，主要在于earth mover's distance。earth mover's distance相比js divergence的优点是：当两个分布没有接触的时候，不管距离远近，js divergence的度量都是相同的，而earth mover's distance会考虑到两个分布的距离到底有多远，这样在训练的时候便更容易训练。

如果不使用WGAN，通常的做法是给分布加噪声，让分布有重叠，这样才更容易去训练。

因此，WGAN可以部分解决生成模型的评价问题，可以利用earth mover's distance来监控模型的好坏（更多处于实际操作方面而非理论loss）。

weight clipping

使用earth mover's distance后，WGAN度量分布差异的公式如下：

Lipschitz Function限制条件的作用是：一方面给D(x)加一些控制，不让它任意变大变小，否则都变成无穷值就没有意义了；另一方面限制D(x)的增长速度，提供足够的梯度保证，如下图：

那么问题来了，如何保证D(x)满足Lipschitz Function限制条件呢？
原始的WGAN采用了weight clipping方法，其思路是限制参数的梯度值在一定范围内，这样便通过倒数限制了D(x)的增长速度。这种方法的缺点是c值不好确定。

完整的算法如下：

gradient penalty

之前Lipschitz Function限制条件通过weight clipping解决，这里借助Lipschitz Function的梯度小于等于1的条件，增加过大梯度的惩罚项，具体如下：