题解： poj 1061 nefu 84(拓展欧几里得)

Posted 2022-12-09 sun897949163

POJ1061

Language:Default 青蛙的约会 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 105002 Accepted: 20595 Description 两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 Input 输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。 Output 输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible” Sample Input 1 2 3 4 5 Sample Output 4 Source 浙江

分析

两只青蛙跳了t步，A的坐标为x+mt， B的坐标为y+nt。他们相遇的充分必要条件是：

.

移相化简得：
.

在这里我们将上式做如下的转化：

.

对于上述方程我们如下调用拓展欧几里得算法:

.

在这里我们求得 的t和p是上述方程的一个解，所以我们要进行如下处理：

.

.

在这里我们要注意到在exgcd中得到的t，p是exgcd中的一个合理解，而并不是最优解， 所以我们要进行最后一步操作。
上代码：

//(n - m)*t + L*p = x-y    n m x y l 已知 求t的最小值
//拓展欧几里得定理求不定方程 p为不定值  求得t的最小解
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

long long exgcd(long long m, long long &x, long long n, long long &y)

    long long x1, y1, x0, y0;
    x0 = 1, y0 = 0;
    x1 = 0, y1 = 1;
    long long r = (m % n + n) % n;
    long long q = (m - r) / n;
    while(r)
    
        x = x0 - q * x1;   y = y0 - q * y1;
        x0 = x1;           y0 = y1;
        x1 = x;            y1 = y;
        m = n; n = r; r = m % n;
        q = (m - r) / n;
    
    return n;


int main(void)

    long long x, y, m, n, l;
    long long ar, br;
    while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &l) != EOF)
    
        long long M = exgcd(n - m, ar, l, br);
        if((x - y) % M || (m == n))
        
            printf("Impossible\\n");
            continue;
        
        else
        
            long long s = l / M;
            ar = ar * ((x - y) / M);
            ar = (ar % s + s) % s;
            printf("%lld\\n", ar);
        
    
    return 0;

nefu 84

五指山
Problem:84

Time Limit:1000ms

Memory Limit:65536K

Description
西游记中孙吾空大闹天宫，如来佛祖前来降伏他，说道：“我与你打个赌赛；你若有本事，一筋斗打出我这右手掌中，算你赢，再不用动刀兵苦争战，就请玉帝到西方居住，把天宫让你；若不能打出手掌，你还下界为妖，再修几劫，却来争吵。”
那大圣闻言，暗笑道：“这如来十分好呆！我老孙一筋斗去十万八千里。他那手掌，方圆不满一尺，如何跳不出去？”急发声道：“既如此说，你可做得主张？”佛祖道：“做得！做得！”伸开右手，却似个荷叶大小。那大圣收了如意棒，抖擞神威，将身一纵，站在佛祖手心里，却道声：“我出去也！”你看他一路云光，无影无形去了。大圣行时，忽见有五根肉红柱子，撑着一股青气。他道：“此间乃尽头路了。这番回去，如来作证，灵霄殿定是我坐也。”翻转筋斗云，径回本处，站在如来掌：“我已去，今来了。你教玉帝让天宫与我。”
如来骂道：“你正好不曾离了我掌哩！”大圣道：“你是不知。我去到天尽头，见五根肉红柱，撑着一股青气，我留个记在那里，你敢和我同去看么？”如来道：“不消去，你只自低头看看。”那大圣睁圆火眼金睛，低头看时，原来佛祖右手中指写着“齐天大圣，到此一游。”大圣大吃了一惊道：“有这等事！有这等事！我将此字写在撑天柱子上，如何却在他手指上？莫非有个未卜先知的法术？我决不信！不信！等我再去来！”
好大圣，急纵身又要跳出，被佛祖翻掌一扑，把这猴王推出西天门外，将五指化作金、木、水、火、土五座联山，唤名“五行山”，轻轻的把他压住。
我们假设佛祖的手掌是一个圆圈（所以任凭大圣一个筋斗云十万八千里也是飞不出其手掌心），圆圈的长为n，逆时针记为：0，1，2，…,n-1，而大圣每次飞的距离为d.现在大圣所在的位置记为x,而大圣想去的地方在y。现在要你告诉大圣至少要多少筋斗云才能到达目的地。
Input
有多组测试数据。
第一行是一个正整数T，表示测试数据的组数。
每组测试数据包括一行，四个非负整数，n（2 < n < 10^9），表示如来手掌圆圈的长度；d(0 < d < n),筋斗所能飞的距离；x(0 <= x < n),大圣的初始位置；y(0 <= y < n)，大圣想去的地方。
注意孙悟空的筋斗云只沿着逆时针方向翻。
Output
对于每组测试数据，输出一行，给出大圣最少要翻多少个筋斗云才能到达目的地。如果无论翻多少个筋斗云也不能到达，输出“Impossible”.
Sample Input
2
3 2 0 2
3 2 0 1
Sample Output
1
2
Hint
Source

提示

·
此处的方程是 sd-tn=m

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

long long exgcd(long long m, long long &x, long long n, long long &y)

    long long x1, y1, x0, y0;
    x0 = 1; y0 = 0;
    x1 = 0; y1 = 1;
    long long r = (m % n + n) % n;
    long long q = (m - r) / n;
    x = 0; y = 1;
    while (r)
    
        x = x0 - q*x1; y = y0 - q*y1; x0 = x1; y0 = y1;
        x1 = x; y1 = y;
        m = n; n = r; r = m % n;
        q = (m - r) / n;
    
    return n;


int main(void)

    //sd - tn = x - y;
    int tc;
    long long n, d, x, y, g, s, t, res;
    scanf("%d", &tc);
    while (tc--)
    
        scanf("%lld %lld %lld %lld", &n, &d, &x, &y);
        x = (y - x + n) % n;//在这里将上式转化成了 sd - tn = x
        g = exgcd(d, s, n, t);
        if ((x % g) != 0)
        
            printf("Impossible\\n");
            continue;
        
        long long k = n / g;
        s = s*(x / g);
        s = (s % k + k) % k;
        printf("%lld\\n", s);
    
    return 0;