算法的时间复杂度和空间复杂度

Posted 2022-12-08 軒邈

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	2022.06.04
	目的：
		浅学算法时间复杂度和空间复杂度
	理论：
		1.算法设计要求：
			a.正确性；
			b.可读性；
			c.健壮性（当输入的数据不合法时，算法也能够做出相应的处理，而不是产生异常或者莫名奇妙的结果）；
			d.时间效率高和存储量低；
		2.算法效率的度量方法：
			a.事后统计法：一个算法运行的时间比较依赖于计算机软件和硬件等环境因素，并且算法的测试数据设计困难；
			b.事前分析估算法：在不考虑计算机软件和硬件的因素下，一个程序运行的时间就依赖于算法的好坏和问题输入的规模；
			一般利用b来度量一个算法的效率。
		3.函数的渐进增长：
			举例理解：某个算法，随着n的不断增大，它会优于另外一种算法，或者越来越差于另一算法。
		4.时间复杂度：
			a.推导大O阶方法：
				（1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数；
				（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；
				（3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。
				最终得到的结果就是大O阶。
			b.常数阶：O(1)
			c.线性阶：O(n)
			d.平方阶：O(nxn)
			e.总结：
				（1）全部常数项，时间复杂度那么就是常数阶；
				（2）全部是多次项，时间复杂度取最高次的项；
				（3）时间复杂度不需要考虑系数，系数的影响可以忽略；
				（4）时间复杂度耗费时间排序（升序）：O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)。
		5.最坏情况和平均情况：
			a.最坏情况-是把所有的包含的情况运行完，通常所说的运行时间都是最坏情况的运行时间；
			b.平均情况-是在n/2次后得到需要值的情况，该情况是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
		6.算法的空间复杂度：
			a.这里所指的空间是一个算法在运行的过程中，临时占用的存储空间的大小，不是一共用到的存储空间的大小；
			b.算法在计算机存储器上所占有的存储空间，包含
														存储算法本身所占有的存储空间；
														算法的输入输出数据所占用的存储空间；
														算法在运行过程中临时占用的存储空间。
			c.常见情况：
				（1）常量空间——类似于时间复杂度 O(1)，当算法的存储空间大小固定，和输入规模没有直接的关系时，空间复杂度记作O(1)。
				（2）线性空间——当算法分配的空间是一个线性的集合（如数组），并且集合大小和输入规模 n 成正比时，空间复杂度记作 O(n)。
				（3）二维空间——当算法分配的空间是一个二维数组集合，并且集合的长度和宽度都与输入规模 n 成正比时，空间复杂度记作 O(n^2)。
				（4）递归空间——纯粹的递归操作的空间复杂度也是线性的，如果递归的深度是n，那么空间复杂度就是 O(n)。
	功能：
		
*/

#include<stdio.h> 
#include<string.h>

int main(void)


	/* 常数阶O(1) */
	/*
		解释:
			根据推导大O阶方法，用常数1取代运行时间中的所有加法常数；
			虽然一共执行了3次，但是平均都是1次，所以还是O(1)；
		注意：不管执行1次的语句有多少，最终都会记作O(1)。
	*/
#if 0
	int sum = 0, n = 100; /* 执行一次 */
	sum = (1 + n) * n / 2;/* 执行一次 */
	printf("%d", sum);    /* 执行一次 */
#endif

	/* 线性阶O(n) */
	/*
		解释:
			根据推导大O阶方法，因为循环体中的语句需要执行n次，所以时间复杂度是O(n)；
	*/
#if 0
	int i;
	for (i = 0; i < n; i++)
	
		printf("%d", i);    /* 执行一次 */
	
#endif

	/* 对数阶O(logn) */
	/*
		解释:
			下面的程序是当有多少个2相乘后，可以不满足while循环，所以通过对数换算得对数阶；			
	*/
#if 0
	int count = 1;
	while (count < n)
	
		count = count * 2; /* 执行一次 */
	
#endif

	/* 平方阶O(nxn) */
	/*
		解释:
			同样的方法，内循环需要循环n次，外循环需要循环n次，所以两者相乘一共循环n的平方次；
		注意：
			在式子中系数是可以忽略，这是因为系数的影响是很小的；
	*/
#if 0
	int  i, j;
	for (i = 0; i < n; i++)
	
		for (j = 0; j < n; j++)
		
			printf("%d", i + j);    /* 执行一次 */
		
	
#endif

	/* 时间复杂度为O(mxn) */
#if 0
	int  i, j;
	for (i = 0; i < m; i++)
	
		for (j = 0; j < n; j++)
		
			printf("%d", i + j);    /* 执行一次 */
		
	
#endif

	return 0;