CF960G - Bandit Blues(第一类斯特林数+OGF)

Posted 2022-12-07 吃花椒的妙酱

题意：求有多少个长度为n的排列，满足从左往右取数，得到a个数，从右往左取数，得到b个，其中取数的定义为：若后来者比现在的数大则换掉替换掉现在的数。对998244353取模。

思路：转化一下题意，就是求满足有a个不同前缀最大值、b个不同后缀最大值的排列数。
\\qquad 倒着考虑，最后一步一定是取n，所以n前面有a-1个不同前缀最大值，后面有b-1个后缀最大值。两者本质一样的。

思路1 :设f[i][j]为i个数的排列有j个不同前缀最大值的排列数，有转移方程f[i][j] = f[i-1][j-1] + (i-1)*f[i-1][j]，f[0][0]=1发现该递推式子和第一类斯特林数的递推式一样

$ans={\sum }_{i=0}^{n-1}f[i][a-1]\ast f[n-1-i][b-1]\ast C(n-1,i)$，从第一类斯特林数的意义上看，该式子的意思是，前i个数构成a-1个轮转，后n-1-i个数构成b-1个轮转，的排列方案数。
等价于n-1个数构成a+b-2个轮转的方案数，

即ans = f[n-1][a+b-2]*C(a+b-2,a-1)
组合数都会求，第一类斯特林数需要快速求

由于第一类斯特林数的生成函数${\sum }_{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]x^i={\prod }_{i=0}^{n-1}(x+i)$，可以用分治NTT，O(nlog^n2)求得斯特林数,注意这里求的是$\left[\begin{array}{c}n-1\\ a+b-2\end{array}\right]$（可以用倍增减法卷积nlogn求，本人比较菜不会qaq

思路2： 第一个方程比较难看出来是斯特林数，直接从数学意义上想。
有a-1个不同前缀最大值，b-1个不同后缀最大值，除了a+b-2个位置是固定住的，其他位置的值只要限制在一定范围内，可以任意取，比如说要求4个数提供一个最大值为4的贡献，那么合法的排列是[4,1,2,3],[4,1,3,2],[4,2,1,3],[4,2,3,1],[4,3,1,2],[4,3,2,1]，如果要求提供一个2的贡献和4的贡献，则只有一个[2,1,4,3]。就是说，有k个不同的前缀最大值，相当于是k个轮转([4,1,2,3] <=>[1,2,3,4]每个排列经过轮转后一定可以让最大值放第一位置)，问题转化成n-1个数构成a+b-2个轮转的方案数，然后就跟思路一一样做了。（比较抽象）

注意特判掉一定不存在的情况。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
#define _for(i,a,b) for(int i=(a) ;i<=(b) ;i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i=(a) ;i>=(b) ;i--)
#define mst(v,s) memset(v,s,sizeof(v))
#define pii pair<int ,int >
#define pb(v) push_back(v)
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define endl "\\n"
#define fi first
#define se second
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define lson p<<1,l,mid
#define rson p<<1|1,mid+1,r
#define AC return 0
#define ldb long double
const int maxn = 6e6+10;
const int p = 998244353;
int Pow(int x,int d)
    int tans = 1;
    if(d == 0)return 1%p;
    int a = Pow(x,d/2);
    tans = 1ll*a*a%p;
    if(d%2)tans = 1ll*tans*x%p;
    return tans%p;

typedef vector<int> Poly;//多项式定义
int F1[maxn],F2[maxn];
int rev[maxn];
void NTT(int * A,int lim,int opt) 
    int i, j, k, m, gn, g, tmp;
    for(int i = 0; i < lim; ++i)rev[i] = (i & 1)*(lim >> 1) + (rev[i >> 1] >> 1);
    for(i = 0; i < lim; ++i)if (rev[i] < i) swap(A[i], A[rev[i]]);
    for(m = 2; m <= lim; m <<= 1) 
        k = m >> 1;
        gn = Pow(3,(p - 1) / m);
        for(i = 0; i < lim; i += m) 
            g = 1;
            for (j = 0; j < k; ++j, g = 1ll * g * gn % p) 
                tmp = 1ll * A[i + j + k] * g % p;
                A[i + j + k] = (A[i + j] - tmp + p) % p;
                A[i + j] = (A[i + j] + tmp) % p;
            
        
    
    if(opt == -1)
        reverse(A+1,A+lim);
        int inv = Pow(lim,p-2);
        for(i = 0; i < lim; ++i) A[i] = 1ll * A[i] * inv % p;
    

Poly mul(const Poly & A,const Poly & B)
    int n = A.size(),m = B.size();
    int siz = n + m - 1;
    Poly C(siz);
    if(siz < 64)//小于等于64项直接暴力算
        for(int i = 0;i < n;i++)
            for(int j = 0;j < m;j++)C[i+j] = (C[i+j] + 1LL*A[i]*B[j]%p)%p;
        
        return C;
    
    int fsiz = 1;
    while(fsiz <= siz)fsiz *= 2;
    for(int i = 0;i < fsiz;i++)F1[i] = F2[i] = 0;
    for(int i = 0;i < n;i++)F1[i] = A[i];
    for(int i = 0;i < m;i++)F2[i] = B[i];
    NTT(F1,fsiz,1);
    NTT(F2,fsiz,1);
    for(int i = 0;i < fsiz;i++)F1[i] = 1ll*F1[i]*F2[i]%p;
    NTT(F1,fsiz,-1);
    for(int i = 0;i < siz;i++)
        C[i] = F1[i];
    
    return C;

int n,A,B;
int fac[100005],ni_f[100005];
Poly cal(int l ,int r)
    if( l==r )
        Poly ans(2,0);
        ans[0] = l;
        ans[1] = 1;
        return ans;
    
    int mid = (l+r)>>1;
    return mul(cal(l,mid),cal(mid+1,r));

ll qsm(int a,int b,int mod)
    a %= mod;
    int ans = 1,temp = a;
    while(b)
        if( b&1 ) ans = (ans * temp)%mod;
        temp = (temp * temp)%mod;
        b>>=1;
    
    return ans;

ll C(int n,int m)
    return fac[n]*ni_f[n-m]%p*ni_f[m]%p;

signed main()
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif  
    IOS;
    cin>>n>>A>>B;
    if( A==0 || B==0 || A+B-2>n-1)
        return cout<<0<<endl,0;
    
    if( n==1 )        
        return cout<<1<<endl,0;
    
    Poly f(n+1,0);
    f = cal(0,n-2);
    fac[0]=1;
    _for(i,1,100000) fac[i] = fac[i-1]*i%p;
    ni_f[100000] = qsm(fac[100000],p-2,p);
    _rep(i,100000-1,0) ni_f[i] = ni_f[i+1] * (i+1)%p;
    int ans = C(A+B-2,A-1) * f[A+B-2]%p;
    cout<<ans<<endl;
    AC;