[CF819D]Mister B and Astronomers

Posted 2022-12-07 ZLTJohn

有n个wzd在仰望星空，第一个wzd会在第0秒仰望星空，第i个wzd会在i-1个仰望完之后的a[i]秒后仰望星空一秒。第n个仰望完后第一个接着，一直循环下去。
有一颗星星在一闪一闪，他有一个参数T，含义是每T秒闪一次，但不知道它从0~T-1秒的哪一个时候会闪。
定义一个wzd的“幸运值”为满足以下条件的x的个数：$x\\in[0,T-1]$，星星从第x秒开始闪时，这个wzd是第一个看到的人。
问每个wzd的幸运值
T<=1e9,n<=2e5

解题思路

定义$y[i]=\\sum_i=2..ia[i], S=\\sum_i=1..na[i]$那么第i个wzd仰望星空的时间就是$x*S+y[i]$。
对于一个闪烁开始时刻t，如果有两个wzd都看到了这颗星星，一定是x小的，或者x相同时y小的那个wzd最先看到。
那么我们换个角度考虑这个问题。首先，对于$i<j,如果y[i]\\equiv y[j](mod \\ T)$，那么j的幸运值为0，因为i无论什么时候都会比j先看到。那么对于一个i而言，他的幸运值如果为x，那么一定存在一个k满足$y[i]+x*S\\equiv y[k]$，可以想象成y[i]在数轴上一次跳S格，然后跳x次会跳到y[k]去，期间每到一个地方，就占用掉这个值，我们想知道每个i会占用多少个值。
我们知道对于S和T，跳来跳去在模意义下会形成gcd(S,T)个环，所以我们把i按y[i]%gcd(S,T)分组，假设模出来的数是z，那么他分到第z组。
对于一个组z，我们从$[0,T-1]的z$开始跳，确定每个元素i在第几次跳的时候被碰到，记为X[i]，然后升序排序，每个wzd的幸运值就是X[i+1]-X[i]了。
实现可以用set+map乱搞。

代码

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
//开 O2！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N=2e5+5,M=1e3+5,mo=1e9+7;
map<int,int> mp,czy;
multiset<int> tr[N];
multiset<int> :: iterator it;
int pp[N],a[N],n,T,A,B,S,d,rem,ka,ts,prt[N],x[N],y[N],i;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

    if (!b)
    
        x=1;
        y=0;
        return a;
    
    int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;

int main()

    freopen("d.in","r",stdin);
    //freopen("d.out","w",stdout);
    scanf("%d %d",&T,&n);
    fo(i,1,n)
    
        scanf("%d",a+i);
        if (i!=1) y[i]=(y[i-1]+a[i])%T;
        if (!mp[y[i]]) mp[y[i]]=i,pp[i]=1;
        S=(S+a[i])%T;
    
    d=exgcd(S,T,A,B);
    S/=d;
    T/=d;
    A%=T;
    if (A<0) A+=T;
    fo(i,1,n)
    if (pp[i])
    
        ka=y[i]%d;
        if (!czy[ka]) czy[ka]=++ts;
        rem=y[i]-ka;
        ka=czy[ka];
        // aS+bT=rem
        rem/=d;
        x[i]=1ll*A*rem%T;
        tr[ka].insert(x[i]);
    
    fo(i,1,n)
    if (pp[i])
    
        ka=czy[y[i]%d];
        it=tr[ka].find(x[i]);
        it++;
        prt[i]=-x[i];
        if (it==tr[ka].end())
        
            prt[i]+=T;
            it=tr[ka].begin();
        
        prt[i]+=*it;
    
    fo(i,1,n) printf("%d ",prt[i]);