对应不同特征值的两个特征向量的乘积等于0，是这样吗？

Posted 2023-04-15

不是，得是特征向量p1与特征向量p2的转置相乘才等于0。

特征值是指设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

求特征向量

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

参考技术A

不是，得是特征向量p1与特征向量p2的转置相乘才等于0

参考技术B 只有实对称矩阵才有这样的性质，非实对称矩阵的话，只是线性无关 参考技术C 为什么不是呢? 不同特征值对应的特征向量相互垂直, 相互垂直的两个向量乘积是0 参考技术D 是追问

怎么证明

追答

直觉

Math证明：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的

证明：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的.

设Ap=mp,Aq=nq,其中A是实对称矩阵,m,n为其不同的特征值,p,q分别为其对应得特征向量.
　　则　　p1(Aq)=p1(nq)=np1q
　　　　　(p1A)q=(p1A1)q=(AP)1q=(mp)1q=mp1q
　　因为　p1(Aq)= (p1A)q
　　上两式作差得：
　　　　　(m-n)p1q=0
　　由于m不等于n,　　所以p1q=0
　　即(p,q)=0,从而p,q正交.
说明：p1表示p的转置,A1表示A的转置,(Ap)1表示Ap的转置