机器学习:决策树(Decision Tree)--ID3算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了机器学习:决策树(Decision Tree)--ID3算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

决策树的主要算法

构建决策树的关键:按照什么样的次序来选择变量(属性/特征)作为分类依据。
根据不同的目标函数,建立决策树主要有以下三种算法

  • ID3(J.Ross Quinlan-1975) 核心:信息熵,信息增益
  • C4.5——ID3的改进,核心:信息增益比/增益率
  • CART(Breiman-1984),核心:基尼系数

ID3算法

由Ross Quinlan在1986年提出,ID3决策树可以有多个分支,但是不能处理特征值为连续的情况,根据“最大信息熵增益”选取当前最佳的特征来分割数据。开始之前我们先引入几个概念。

香农熵(Shannon Entropy)

熵用来表示事件的不确定性,熵越小代表事件发生的概率就越大。若熵为0,表示事件百分百发生。
对于常见分类系统来说,假设类别D是变量,D可能取值D1,D2…Dn,每个类别出现的概率为P(D1),P(D2)…P(Dn),共n类。
分类系统的熵为:

当我们的概率是由数据统计得到时,此时的熵称为经验熵(empirical entropy)。
举个例子:

我们先不考虑特征,该样本最终分为结果只有买与不买两类,根据统计可知在1024个样本中有641个数据结果为买,383个数据结果为不买。显然买的概率为(641/1024),不买的概率为(383/1024)。显然这两个概率是我们统计得到的,通过这两个统计得到的概率计算的熵称为经验熵,为:

这就是我们第一步要做的,计算决策属性的熵。
该列中买与不买就是决策属性。

条件熵

条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。

同样的,如果公式中的概率是由统计估计出来的话,这时的条件熵称为经验条件熵。
我们用H(D|A)表示在给定的特征A的条件下D的经验条件熵。假设特征A将D划分为v个子集D1,D2,…Dv,例:年龄特征(A),将我们的数据集分成了三份青年,中年,老年.
此时条件熵为:

信息增益(information gain)

计算完决策属性的熵以后,我们要根据信息增益来排序特征,那什么是信息增益呢?

信息增益是相对于特征而言的,表示得知特征A的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。信息增益越大,特征对最终的分类结果影响也就越大,因此此特征就被选上作为我们的分类特征。

简单地将,可以理解为一个特征对最终结果相关程度,信息增益大说明该特征与分类结果的关联性很强。特征的信息增益小,则说明该特征对分类的结果影响很小。

特征A信息增益( g(D,A) ) = 决策属性的熵 - 特征A的平均信息期望

定义为:

上述已经计算了决策属性的熵,现在我们计算某个特征的平均熵期望.
年龄(A1)将数据集为三个组:
青年(D1),中年(D2),老年(D3)

我们把年龄为青年(D1)的样本全都提取出来:

总共D1=(64*4+128)384个样本,做以下定义
D11(买)=128
D12(不买)=256
青年中买与不买的概率:
P(D11) = 128/384
P(D12) = 256/384
根据分类熵的定义得:

同理得到中年H(D2)=0,老年H(D3)=0.9175

青年组所占全部数据集比例(D1) = 384/1024 = 0.375
中年组所占全部数据集比例(D2) = 256/1024 = 0.25
老年组所占全部数据集比例(D3) = 384/1024 = 0.375
得到年龄(A1)的平均熵期望:

年龄信息增益为

上述讲过,信息增益为一个特征对最终分类结果的影响情况,信息增益越大代表该特征对最终分类结果的影响越大.所以我们还需要计算出收入,学生,信誉三个特征的信息增益信息增益越大的特征就要在决策树的前面

经过相同计算原理的我们得到
年龄特征的信息增益=0.2660
收入特征的信息增益=0.0176
学生特征的信息增益=0.1726
信誉特征的信息增益=0.0453

所以要将年龄特征作为我们决策树的根节点,之后采用递归的思想,直到叶子节点(决策属性)。

我们以西瓜书中西瓜数据集2.0举例
先约定:
色泽 :青绿:0 乌黑:1 浅白:2

根蒂:蜷缩:0 稍蜷:1 硬挺:2

敲声:浊响:0 沉闷:1 清脆:2

纹理:清晰:0 模糊:1 稍糊:2

脐部:凹陷:0 平坦:1 稍凹:2

触感:硬滑:0 软粘:1

代码来自大牛jack-cui,
https://cuijiahua.com
仅修改一小部分代码。

# !/usr/bin/env python
# -*- coding:utf-8 -*-

from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
from math import log
import operator


def createDataSet():
    dataSet = [[0, 0, 0, 0, 0, 0,'yes'],         #数据集
               [1, 0, 1, 0, 0, 0,'yes'],
               [1, 0, 0, 0, 0, 0,'yes'],
               [0, 0, 1, 0, 0, 0,'yes'],
               [2, 0, 0, 0, 0, 0,'yes'],
               [0, 1, 0, 0, 2, 1,'yes'],
               [1, 1, 0, 2, 2, 1,'yes'],
               [1, 1, 0, 0, 2, 0,'yes'],
               [1, 1, 1, 2, 2, 0,'no'],
               [0, 2, 2, 0, 1, 1,'no'],
               [2, 2, 2, 1, 1, 0,'no'],
               [2, 0, 0, 1, 1, 1,'no'],
               [0, 1, 0, 2, 0, 0,'no'],
               [2, 1, 1, 2, 0, 0,'no'],
               [1, 1, 0, 0, 2, 1,'no'],
               [2, 0, 0, 1, 1, 0,'no'],
               [0, 0, 1, 2, 2, 0,'no']]
    labels=['色泽', '根蒂', '敲声', '纹理', '脐部', '触感', '好瓜']		#分类属性
    return dataSet, labels                #返回数据集和分类属性             #返回数据集和分类属性


def calcShannonEnt(dataSet):
    numEntires = len(dataSet)                        #返回数据集的行数
    labelCounts =                                 #保存每个标签(Label)出现次数的字典
    for featVec in dataSet:                            #对每组特征向量进行统计
        currentLabel = featVec[-1]                    #提取标签(Label)信息
        if currentLabel not in labelCounts.keys():    #如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1                #Label计数
    shannonEnt = 0.0                                #经验熵(香农熵)
    for key in labelCounts:                            #计算香农熵
        prob = float(labelCounts[key]) / numEntires    #选择该标签(Label)的概率
        shannonEnt -= prob * log(prob, 2)            #利用公式计算
    return shannonEnt                                #返回经验熵(香农熵)


def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    retDataSet = []                                        #创建返回的数据集列表
    for featVec in dataSet:                             #遍历数据集
        if featVec[axis] == value:
            reducedFeatVec = featVec[:axis]                #去掉axis特征
            reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])     #将符合条件的添加到返回的数据集
            retDataSet.append(reducedFeatVec)
    return retDataSet                                      #返回划分后的数据集


def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1                    #特征数量
    baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)                 #计算数据集的香农熵
    bestInfoGain = 0.0                                  #信息增益
    bestFeature = -1                                    #最优特征的索引值
    for i in range(numFeatures):                         #遍历所有特征
        #获取dataSet的第i个所有特征
        featList = [example[i] for example in dataSet]
        uniqueVals = set(featList)                         #创建set集合,元素不可重复
        newEntropy = 0.0                                  #经验条件熵
        for value in uniqueVals:                         #计算信息增益
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)         #subDataSet划分后的子集
            prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet))           #计算子集的概率
            newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)     #根据公式计算经验条件熵
        infoGain = baseEntropy - newEntropy                     #信息增益
       # print("第%d个特征的增益为%.3f" % (i, infoGain))            #打印每个特征的信息增益
        if (infoGain > bestInfoGain):                             #计算信息增益
            bestInfoGain = infoGain                             #更新信息增益,找到最大的信息增益
            bestFeature = i                                     #记录信息增益最大的特征的索引值
    return bestFeature                                             #返回信息增益最大的特征的索引值


def majorityCnt(classList):
    classCount = 
    for vote in classList:                                        #统计classList中每个元素出现的次数
        if vote not in classCount.keys():classCount[vote] = 0
        classCount[vote] += 1
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key = operator.itemgetter(1), reverse = True)        #根据字典的值降序排序
    return sortedClassCount[0][0]                                #返回classList中出现次数最多的元素


def createTree(dataSet, labels, featLabels):
    classList = [example[-1] for example in dataSet]            #取分类标签(是否放贷:yes or no)
    
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):            #如果类别完全相同则停止继续划分
        return classList[0]
    if len(dataSet[0]) == 1:  #加标签共7列                                  #遍历完所有特征时返回出现次数最多的类标签
        return majorityCnt(classList)
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)                #选择最优特征
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]                            #最优特征的标签
    featLabels.append(bestFeatLabel)
    myTree = bestFeatLabel:                                    #根据最优特征的标签生成树
    #del(labels[bestFeat])                                        #删除已经使用特征标签
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]        #得到训练集中所有最优特征的属性值
    uniqueVals = set(featValues)                                #去掉重复的属性值
    for value in uniqueVals:                                    #遍历特征,创建决策树。
        del_bestFeat = bestFeat
        del_labels = labels[bestFeat]
        del (labels[bestFeat])
        myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), labels, featLabels)
        labels.insert(del_bestFeat, del_labels)
    return myTree


def getNumLeafs(myTree):
    numLeafs = 0                                                #初始化叶子
    firstStr = next(iter(myTree))                                #python3中myTree.keys()返回的是dict_keys,不在是list,所以不能使用myTree.keys()[0]的方法获取结点属性,可以使用list(myTree.keys())[0]
    secondDict = myTree[firstStr]                                #获取下一组字典
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':                #测试该结点是否为字典,如果不是字典,代表此结点为叶子结点
            numLeafs += getNumLeafs(secondDict[key])
        else:   numLeafs +=1
    return numLeafs


def getTreeDepth(myTree):
    maxDepth = 0                                                #初始化决策树深度
    firstStr = next(iter(myTree))                                #python3中myTree.keys()返回的是dict_keys,不在是list,所以不能使用myTree.keys()[0]的方法获取结点属性,可以使用list(myTree.keys())[0]
    secondDict = myTree[firstStr]                                #获取下一个字典
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':                #测试该结点是否为字典,如果不是字典,代表此结点为叶子结点
            thisDepth = 1 + getTreeDepth(secondDict[key])
        else:   thisDepth = 1
        if thisDepth > maxDepth: maxDepth = thisDepth            #更新层数
    return maxDepth

def plotNode(nodeTxt, centerPt, parentPt, nodeType):
    arrow_args = dict(arrowstyle="<-")                                            #定义箭头格式
    font = FontProperties(fname=r"c:\\windows\\fonts\\simsun.ttc", size=14)        #设置中文字体
    createPlot.ax1.annotate(nodeTxt, xy=parentPt,  xycoords='axes fraction',    #绘制结点
        xytext=centerPt, textcoords='axes fraction',
        va="center", ha="center", bbox=nodeType, arrowprops=arrow_args, FontProperties=font)


def plotMidText(cntrPt, parentPt, txtString):
    xMid = (parentPt[0]-cntrPt[0])/2.0 + cntrPt[0]                                            #计算标注位置
    yMid = (parentPt[1]-cntrPt[1])/2.0 + cntrPt[1]
    createPlot.ax1.text(xMid, yMid, txtString, va="center", ha="center", rotation=30)


def plotTree(myTree, parentPt, nodeTxt):
    decisionNode = dict(boxstyle="sawtooth", fc="0.8")                                        #设置结点格式
    leafNode = dict(boxstyle="round4", fc="0.8")                                            #设置叶结点格式
    numLeafs = getNumLeafs(myTree)                                                          #获取决策树叶结点数目,决定了树的宽度
    depth = getTreeDepth(myTree)                                                            #获取决策树层数
    firstStr = next(iter(myTree))                                                            #下个字典
    cntrPt = (plotTree.xOff + (1.0 + float(numLeafs))/2.0/plotTree.totalW, plotTree.yOff)    #中心位置
    plotMidText(cntrPt, parentPt, nodeTxt)                                                    #标注有向边属性值
    plotNode(firstStr, cntrPt, parentPt, decisionNode)                                        #绘制结点
    secondDict = myTree[firstStr]                                                            #下一个字典,也就是继续绘制子结点
    plotTree.yOff = plotTree.yOff - 1.0/plotTree.totalD                                        #y偏移
    for key in secondDict.keys():
        if type(secondDict[key]).__name__=='dict':                                            #测试该结点是否为字典,如果不是字典,代表此结点为叶子结点
            plotTree(secondDict[key],cntrPt,str(key))                                        #不是叶结点,递归调用继续绘制
        else:                                                                                #如果是叶结点,绘制叶结点,并标注有向边属性值
            plotTree.xOff = plotTree.xOff + 1.0/plotTree.totalW
            plotNode(secondDict[key], (plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, leafNode)
            plotMidText((plotTree.xOff, plotTree.yOff), cntrPt, str(key))
    plotTree.yOff = plotTree.yOff + 1.0/plotTree.totalD

def createPlot(inTree):
    fig = plt.figure(1, facecolor='white')                                                    #创建fig
    fig.clf()                                                                                #清空fig
    axprops = dict(xticks=[], yticks=[])
    createPlot.ax1 = plt.subplot(111, frameon=False, **axprops)                                #去掉x、y轴
    plotTree.totalW = float(getNumLeafs(inTree))                                            #获取决策树叶结点数目
    plotTree.totalD = float(getTreeDepth(inTree))                                            #获取决策树层数
    plotTree.xOff = -0.5/plotTree.totalW; plotTree.yOff = 1.0;                                #x偏移
    plotTree(inTree, (0.5,1.0), '')                                                            #绘制决策树
    plt.show()                                                                                 #显示绘制结果


def classify(inputTree, featLabels, testVec):
    firstStr = next(iter(inputTree))                                                        #获取决策树结点
    secondDict = inputTree[firstStr]                                                        #下一个字典
    featIndex = featLabels.index(firstStr)
    for key in secondDict.keys():
        if testVec[featIndex] == key:
            if type(secondDict[key]).__name__ == 'dict':
                classLabel = classify(secondDict[key], featLabels, testVec)
            else: classLabel = secondDict[key]
    return classLabel

if __name__ == '__main__':以上是关于机器学习:决策树(Decision Tree)--ID3算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

机器学习实战之第三章 决策树(Decision Tree)

机器学习算法实践:决策树 (Decision Tree)(转载)

Python_sklearn机器学习库学习笔记decision_tree(决策树)

机器学习-决策树 Decision Tree

机器学习经典算法——决策树(Decision Tree)

机器学习:决策树(Decision Tree)--ID3算法