动态规划：空间优化技巧以及接龙型动态规划

Posted 2022-12-06 BudingCode

空间优化方法

滚动数组

如果状态依赖关系只在相邻的几层之间，则可以使用滚动数组进行优化
滚动数组可以让空间复杂度降维

坐标型动态规划使用滚动数组

数字三角形的状态转移方程为
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + A[i][j]

滚动数组优化之后为
dp[i % 2][j] = min(dp[(i - 1) % 2][j], dp[(i - 1) % 2][j - 1]) + A[i][j]

因为每一步只与他的前一步有关，所以前面的数组我们可以重复使用，而不需要开辟新的空间。

随着滚动数组优化，我们需要改变的地方：

//原来的版本，详情请看动态规划入门：

public int minimumTotal(int[][] triangle) 
        if (triangle == null || triangle.length == 0) 
            return -1;
        
        if (triangle[0] == null || triangle[0].length == 0) 
            return -1;
        
        
        int n = triangle.length;
        int[][] f = new int[n][n];
        
        // initialize: 三角形的左边和右边要初始化
        // 因为他们分别没有左上角和右上角的点
        f[0][0] = triangle[0][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            f[i][0] = f[i - 1][0] + triangle[i][0];
            f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + triangle[i][i];
        
        
        // function: f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            for (int j = 1; j < i; j++) 
                f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
            
        
        // answer: 最后一层的任意位置都可以是路径的终点
        int best = f[n - 1][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            best = Math.min(best, f[n - 1][i]);
        
        return best;
    

//滚动数组版本：
public int minimumTotal(int[][] triangle) 
        if (triangle == null || triangle.length == 0) 
            return -1;
        
        if (triangle[0] == null || triangle[0].length == 0) 
            return -1;
        
        
        int n = triangle.length;
        //空间负责度进行了降纬 n => 2
        int[][] f = new int[2][n];
        
        f[0][0] = triangle[0][0];
        // 因为数组空间不能够直接初始化，我们需要在动态的过程中初始化
        for (int i = 1; i < n; i++) 
        	f[i % 2][0] = f[(i - 1) % 2][0] + triangle[i][0];
        	f[i % 2][i] = f[(i - 1) % 2][i - 1] + triangle[i][i];
            for (int j = 1; j < i; j++) 
                f[i % 2][j] = min(f[(i - 1) % 2][j], f[(i - 1) % 2][j - 1]) + triangle[i][j]
            
        
        // answer: 最后一层的任意位置都可以是路径的终点
        int best = f[(i - 1) % 2][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) 
            best = Math.min(best, f[(i - 1) % 2][i]);
        
        return best;
    

从上面的不同的两个版本我们可以知道最大的区别在于初始化，因为数组空间不能够直接初始化，所以我们需要在动态的过程中初始化。

那么能否两个维度一起滚动呢?
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + A[i][j] =>
dp[i % 2][j % 2] = min(dp[(i - 1) % 2][j % 2], dp[(i - 1) % 2][(j - 1) % 2]) + A[i][j]

不可以，因为j不是全局单调递增的，所以他的数据需要被保存，而 i 是全局单调递增的。

所以我们可以得出，滚动数组只可以滚动一个维度，不能滚动两个维度。

实例：
斐波那契数列

class Solution 
    public int fib(int n) 
        int[] dp = new int[3];
        dp[0%3] = 0;
        dp[1%3] = 1; 
        for(int i = 2 ; i <= n; i++)
            dp[i % 3] = (dp[(i - 1) % 3] +  dp[(i - 2) % 3]) % 1000000007;
        
            
        return dp[n%3];
    

总结：

• 滚动数组滚动的是第一重循环的变量，而不是第二重甚至第三重
• 滚动数组也只能滚一个维度
• 不能两个维度一起滚动

接龙型动态规划

属于“坐标型”动态规划的一种 题型一般是告诉你一个接龙规则，让你找最长的龙

经典例题：
LeetCode 300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

例子1:

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

利用动规四要素分析：

state: 
dp[i] 表示以第 i 个数为龙尾的最长的龙有多长 

function: 
dp[i] = maxdp[j] + 1, j < i && nums[j] < nums[i] 

initialization://每个位置都可以是龙头 
dp[0..n-1] = 1

answer:
maxdp[0..n-1]

Follow up: 求具体的方法

倒推法
记录每个状态的最优值是从哪个前继状态来的 通常需要一个和状态数组同样维度的数组 prev[i] 记录 使得 dp[i] 获得最优值的那个 j 是谁 j 是方程 dp[i] = maxdp[j] + 1 里的j

最长上升连续子序列 II
描述：
给定一个整数矩阵. 找出矩阵中的最长连续上升子序列, 返回它的长度. 最长连续上升子序列可以从任意位置开始, 向上/下/左/右移动.

输入: 
    [
      [1, 2, 3, 4, 5],
      [16,17,24,23,6],
      [15,18,25,22,7],
      [14,19,20,21,8],
      [13,12,11,10,9]
    ]
输出: 25
解释: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> ... -> 25 (由外向内螺旋)

LeetCode 368.最大整除子集

描述：

给出一个由无重复的正整数组成的集合，找出其中最大的整除子集，子集中任意一对 (Si，Sj) 都要满足：Si % Sj = 0 或 Sj % Si = 0。

如果有多个目标子集，返回其中任何一个均可。

示例 1:

输入: [1,2,3]
输出: [1,2] (当然, [1,3] 也正确)

class Solution 
    public List<Integer> largestDivisibleSubset(int[] nums) 
        if (nums == null || nums.length == 0) 
            return new ArrayList();
        
        
        Arrays.sort(nums);
        int n = nums.length;
        HashMap<Integer, Integer> dp = new HashMap();
        HashMap<Integer, Integer> prev = new HashMap();
        
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            dp.put(nums[i], 1);
            prev.put(nums[i], -1);
        
        
        int lastNum = nums[0];
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            int num = nums[i];
            for (Integer factor : getFactors(num)) 
                if (!dp.containsKey(factor)) 
                    continue;
                
                if (dp.get(num) < dp.get(factor) + 1) 
                    dp.put(num, dp.get(factor) + 1);
                    prev.put(num, factor);
                
            
            if (dp.get(num) > dp.get(lastNum)) 
                lastNum = num;
            
        
        
        return getPath(prev, lastNum);
    
    
    private List<Integer> getPath(HashMap<Integer, Integer> prev, int lastNum) 
        List<Integer> path = new ArrayList();
        while (lastNum != -1) 
            path.add(lastNum);
            lastNum = prev.get(lastNum);
        
        Collections.reverse(path);
        return path;
    
    
    private List<Integer> getFactors(int num) 
        List<Integer> factors = new ArrayList();
        if (num == 1) 
            return factors;
        
        int factor = 1;
        while (factor * factor <= num) 
            if (num % factor == 0) 
                factors.add(factor);
                if (factor != 1 && num / factor != factor) 
                    factors.add(num / factor);
                
            
            factor++;
        
        return factors;