二维随机变量及其分布

Posted 2022-12-03 会思考的浣熊

第三章 二维随机变量及其分布

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一、二维随机变量的联合分布与边缘分布

1. 二维随机变量
   设 $X$, $Y$ 为随机变量，称 $(X, Y)$ 为二维随机变量。
2. 联合分布函数
   $$F(x, y) = P\\X \\leqslant x, Y \\leqslant y\\ $$
3. 边际分布函数
   $$\\begingather* F_X(x) = P\\ X \\leqslant x \\ \\\\ F_Y(y) = P\\ Y \\leqslant y \\ \\endgather*$$

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二、二维离散型随机变量及其分布

1. 设 $X$, $Y$ 为离散型随机变量，称 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量。
2. 联合分布律
   $$P\\ X = x_i, Y = y_j \\ = p_ij (i = 1, 2, \\cdots, n)$$
3. 边缘分布律
   $$\\begingather P\\ X = x_i \\ = \\sum_j = 1^n p_ij = p_i\\bullet (i = 1, 2, \\cdots, m)\\\\ P\\ Y = y_j \\ = \\sum_i = 1^m p_ij = p_\\bullet j (j = 1, 2, \\cdots, n) \\endgather$$

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三、二维连续型随机变量及其分布

1. 设 $(X, Y)$ 为二维随机变量，若存在二元非负可积函数 $f(x, y)$， 使得
   $$F(x, y) = \\int_-\\infty^x du \\int_-\\infty^y f(u, v) dv$$
   称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，其中 $f(x, y)$ 为 $(X, Y)$ 的联合密度函数。
2. 边缘分布
   边际密度函数
   $$\\begingather* f_X(x) = \\int_-\\infty^+\\infty f(x, y) dy \\\\ f_Y(y) = \\int_-\\infty^+\\infty f(x, y) dx \\endgather*$$
   边缘分布函数
   FX(x)=∫x−∞fX(x)dx=∫x概率：二维离散型随机变量及其分布

   概率论与数理统计

   如何生成具有不同边际分布的多元随机数？

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