prufer序学习小记+2020牛客暑期多校训练营（第七场）I Valuable Forests

Posted 2022-11-28 ZLTJohn

prufer序与无根树的关系

对于一颗带标号无根树，定义其prufer序为按照如下规则生成的序列：
进行n-2步，对于第i步，选择度为1且编号最小的点x，将边的另一端点标号y作为序列的第i位，并删去x和边。
若长度为n-2的序列a[1~n-2]满足：任意a[i]∈[1,n]，那么该序列为某棵树对应的prufer序，可按照如下方法根据prufer序构造无根树，且该无根树对应的prufer序为a：
设初始点集V=1…n，先进行n-2步：第i步取a[i]，并在V-∪a[i~n-2]中取编号最小的元素x，为a[i]与x连边，并删去V中的x。
最后一步，对V中剩下两节点连边。
样例随便画一棵树

定理：不同的带标号无根树得出的prufer序不同。

推论： f : 树->a[1~n-2] | ∀a[i]∈[1,n] 就是一个单射，又因为a[]必定能对应回原本的树，所以他们之间存在一一映射的关系。

可以证明该推论的一个必要条件成立，帮助理解：
合法序列a[]必定对应一颗树而不是一般图：从上面的构造法可以看出，V中每个点都有连边，且总边数为n-1，只能是一棵树。若不是，必定存在一个点没有任何连边，与构造法矛盾。

性质1：大小为n的带标号无根树有n^(n-2)个

由于prufer序有n^(n-2)种，对应的树也有这么多。

性质2：度数为d的节点在prufer序中出现d-1次

因为一个点只剩一个度数的时候是不会再被计入prufer序内的。

性质3：给定点度数d[1~n]可以算出合法无根树数量

简单计数
$$cnt=\frac{(n-2)!}{\prod (d[i]-1)!}$$
根据这些性质可以解决一些计数问题。

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Valuable Forests

我们先求一颗大小为1~n的树的贡献，再组合成森林求贡献。
对于一个大小为n的树，所有合法情况的度数平方和f[n]是多少呢？
考虑每一种prufer序，贡献就是
$$\sum _{a[]}\sum _{x=1...n}(appea{r}_{a[]}[x]+1{)}^2$$
appear_a代表x在prufer序a里出现几次。
我们可以分开统计每个点的贡献，这是经典套路了。具体地，枚举x的度数，计算这种情况下对应的a[]的方案数。又因为每个点是等价的，那么总答案变成
$$f[n]=n\sum _{j=1..n-1}{j}^2{C}_{n-2}^{j-1}(n-1{)}^{n-2-(j-1)}$$
j枚举了点x的度数。
现在我们得到了f[1~n]，怎么计算森林呢？
设大小为n的森林的答案是g[n]，要得到他，我们可以枚举n号点形成的树的大小i(如果随便选i个点就会计重)，再利用g[1~n]得到答案。
$$g[n]=\sum _{i=1..n}{C}_{n-1}^{i-1}(g[n-i]\ast i^{i-2}+cnt[n-i]\ast f[i])$$
其中cnt[n-i]代表n-i个点形成的森林数。
当我把n-i的森林和i的树拼起来的时候，方案数就变成了cnt[n-i]*i^(i-2),原本森林的贡献和的方案数是cnt[n-i]，但现在方案变大了，要乘上放大倍数。反过来树的贡献和也要乘，这样就能得到新方案数下的贡献和了。
$$cnt[n]=\sum _{i=1..n}{C}_{n-1}^{i-1}cnt[n-i]i^{i-2}$$

代码

#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=5e3+5,M=1e6+5;
ll f[N],cnt[N],g[N],pwv;
int c[N][N],pw[N][N],n,m,i,mo; 
void predo(int n)

	int i,j;
	c[0][0]=1;
	pw[0][0]=1;
	fo(i,1,n)
	
		c[i][0]=1;
		pw[i][0]=1;
		fo(j,1,n)
		
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mo;
			pw[i][j]=pw[i][j-1]*(ll)i%mo;
		
	

void predp(int nn)

	int n,i,j;
	fo(n,1,nn)
	
		fo(j,1,n-1)
			f[n]=(f[n]+1ll*j*j%mo*c[n-2][j-1]%mo*pw[n-1][n-2-(j-1)])%mo;
		f[n]=f[n]*n%mo;
	
	cnt[0]=1;
	fo(n,1,nn)
	
		fo(i,1,n)//mind i-2<0
		
			if (i>1) pwv=pw[i][i-2];else pwv=1;
			cnt[n]=(cnt[n]+(ll)c[n-1][i-1]*cnt[n-i]%mo*pwv)%mo;
		
	
	g[0]=0;
	fo(n,1,nn)
	
		fo(i,1,n)
		
			if (i>1) pwv=pw[i][i-2];else pwv=1;
			g[n]=(g[n]+((ll)g[n-i]*pwv+(ll)cnt[n-i]*f[i])%mo*c[n-1][i-1])%mo;
		
	
	

int main()

    freopen("I.in","r",stdin);
	//freopen("B.out","w",stdout);
	scanf("%d %d",&m,&mo);
	predo(5e3);
	predp(5e3);
	fo(i,1,m)
	
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\\n",g[n]);