网易2019笔试题-牛牛的背包

Posted 2022-11-28 一米阳光213

题目解析

1. 核心思路
   物品有n个，每个体积为 v[i]，背包体积为 w. 每个物品有两种选择：放进背包，不放进背包。
   状态设计：f(i,j):物品为前i个物品，背包体积为j，一共多少种放法。
   状态转移：
   如果第i个物品放进背包：f(i-1,j-v[i])
   如果第i个物品不放进背包：f(i-1,j)
   因此：
   f(i,j) = f(i-1,j-v[i]) + f(i-1,j)

2. 难点分析：本题的数据量太大，1 <= w <= 2 * 10^9，空间消耗太大。同时，1 <= n <= 30，可以考虑时间换空间，用函数递归。

3. 优化时间复杂度
   不作优化，AC率为80%。
   设 total 为所有物品体积之和，如果 total <= w，直接返回 2^n. 优化后，时间大幅降低，为 4ms.

4. C++代码

#include <iostream>
#include<math.h>

using namespace std;
int n, v[32];   // n 表示物品的数量，v表示每个物品的体积
int w;  // 背包的容量
typedef long long bint;
bint f(int n, int w) // n 表示前 n 个物品， w 表示 背包体积

    if( w ==0 ) return 1;
    if( n == 1 ) 
        if( w < v[n] )
            return 1;   // 不放
        else
            return 2;
    
    else if( w >= v[n] )
        return f(n-1,w) + f(n-1,w-v[n]);
    else
        return f(n-1,w);



int main()

    scanf("%d%d",&n,&w);
    bint total = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    
        scanf("%d",&v[i+1]);   // 下标从1开始
        total += v[i+1];
    

    /************** 背包问题：多少种方法 ****************/
    // dp[i][j]: 使用前i个物品，背包体积为j时，有多少种放法
    // 状态转移方程：
    // 如果第 i 个物品放进去，  有 dp[i-1][j-v[i]] 种放法
    // 如果第 i 个物品不放进去，有 dp[i-1][j] 种放法
    // dp[i][j] =  dp[i-1][j-v[i]] + dp[i-1][j]
    // 初始化：
    // if j =0, dp[i][j] = 1
    // if i =1, 讨论 v[1] 和 j 之间的关系
    bint rs =0;
    if( total <= w )
       rs = (bint)pow(2,n);
    else
       rs = f(n,w);

    cout << rs << endl;

    return 0;