大话数据结构之查找
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了大话数据结构之查找相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
一、二叉排序树
（又称为二叉查找树）它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值；
- 若它的右子树不空，则右子树所有的结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树
构造一颗二叉排序树的目的，其实并不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除关键字的速度
1、二叉排序树查找操作
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
int data; /* 结点数据 */
struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
BiTNode, *BiTree;
/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
/* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
/*下面的if循环用来判断当前二叉树是否到叶子结点*/
if (!T) /* 查找不成功 */
*p = f;
return FALSE;
else if (key==T->data) /* 查找成功 */
*p = T;
return TRUE;
else if (key<T->data)
return SearchBST(T->lchild, key, T, p); /* 在左子树中继续查找 */
else
return SearchBST(T->rchild, key, T, p); /* 在右子树中继续查找 */
2、二叉排序树插入操作
/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， */
/* 插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key)
BiTree p,s;
if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if (!p)
*T = s; /* 插入s为新的根结点 */
else if (key<p->data)
p->lchild = s; /* 插入s为左孩子 */
else
p->rchild = s; /* 插入s为右孩子 */
return TRUE;
else
return FALSE; /* 树中已有关键字相同的结点，不再插入 */
3、二叉排序树删除操作
根据我们对删除结点的三种情况的分析：
- 叶子结点
- 仅有左或右子树的结点
- 左右子树都有的结点，下面这个算法是递归方式对二叉排序树T查找key，查找到时删除
/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */
return FALSE;
else
if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */
return Delete(T);
else if (key<(*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
这段代码和前面的二叉排序树查找几乎完全相同，唯一的区别就在于第8行，此时执行的是Delete方法，对当前结点进行删除操作
/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */
Status Delete(BiTree *p)
BiTree q,s;
if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */
q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */
q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
else /* 左右子树均不空 */
q=*p; s=(*p)->lchild;
/*将要删除的结点p赋值给临时的变量q，
再将q的左孩子p->lchild赋值给临时的变量s。
此时q指向47结点，s指向35结点*/
/*循环找到左子树的右结点，直到右侧尽头。
就当前例子来说就是让q指向35，
而s指向了37这个再没有右子树的结点*/
while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */
q=s;
s=s->rchild;
/*此时让要删除的结点P的位置的数据被赋值为s->data,
即让p->data=37*/
(*p)->data=s->data; /* s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */
/*如果p和q指向不同，则将s->lchild赋值给q->rchild,否则，否则是将s->lchild赋值给q->lchild。显然这个例子p不等于q,将s->lchild指向的36赋值给q->rchild，也就是让q->rchild指向36结点*/
if(q!=*p)
q->rchild=s->lchild; /* 重接q的右子树 */
else
q->lchild=s->lchild; /* 重接q的左子树 */
free(s);
return TRUE;
4、二叉排序树总结
二叉排序树是以链接的方式存储，保持了链接存储结构再执行插入或删除操作时不用移动元素的优点，只要找到合适的插入和删除位置后，仅需修改链接指针即可
对于二叉排序树的查找，走的就是从根结点到要查找的结点的路径，其比较次数等于给定值的结点再二叉排序树的层次
二、平衡二叉树（AVL树）
平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1
平衡因子BF
二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF
最小不平衡子树
距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树
当新插入结点37时，距离它最近的平衡因子绝对值超过1的结点是58（即它的左子树高度2减去右子树高度0），所以从58开始以下的子树为最小不平衡子树
1、平衡二叉树实现原理
平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树
在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各节点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树
我们先讲一个平衡二叉树构建过程的例子，假设我们现在有一个数组a[10]=3,2,1,4,5,6,7,10,9,8需要构建二叉排序树
对于数组a[10]=3，2，1，4，5，6，7，10，9，8的前两位3和2，我们很正常地构建，到了第3个数“1”时，发现此时根结点“3”的平衡因子变成了2，此时整棵树都成了最小平衡子树，因此需要调整，如图1（结点左上角数字为平衡因子BF值）。因为BF值为正，因此我们将整个树进行右旋（顺时针旋转），此时结点2成了根结点，3成了2的右孩子，这样三个结点的BF值均为0，如图2
然后我们再增加结点4，平衡因子没发生改变，如图3。增加结点5时，结点3的BF值为-2，说明要旋转了。由于BF是负值，所以我们对这颗最小平衡子树进行左旋（逆时针旋转），如图4
增加结点6时，发现根结点2的BF值变成了-2，如图6.所以我们对根结点进行左旋，注意此时本来结点3是4的左孩子，由于旋转后需要满足二叉排序树特性，因此它成了结点2的右孩子，如图7。增加结点7，同样的左旋转，使得整棵树达到平衡
当增加结点10时，结构无变化，如图10.再增加结点9，此时结点7的BF变成了-2，理论上我们只需要旋转最小不平衡子树7、9、10即可，但是如果左旋转后，结点9就成了10的右孩子，这是不符合二叉排序树的特性的，此时不能简单的左旋，如图11所示
仔细观察图11，发现根本愿意在于结点7的BF是-2，而结点10的BF是1，也就是说，它们俩一正一负，符合并不统一，而前面的几次旋转，无论左还是右旋，最小不平衡子树的根结点与它的子节点符合都是相同的。这就是不能直接旋转的关键。那怎么办呢？
于是我们先对结点9和结点10进行右旋，使得结点10成了9的右子树，结点9的BF为-1，此时就与结点7的BF值符号统一了，如图12
这样我们再以结点7为最小不平衡子树进行左旋，得到图13，接着插入8，情况与刚才类似，结点6的BF是-2，而它的右孩子9的BF是1，如图14，因此首先以9为根结点，进行右旋，得到图15，此时结点6和结点7的符合都是负，再以6为根结点左旋，最终得到最后的平衡二叉树，如图16
2、平衡二叉树实现算法
改进二叉树排序树的结点结构，增加一个bf，用来存储平衡因子
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
int data; /* 结点数据 */
int bf; /* 结点的平衡因子 */
struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
BiTNode, *BiTree;
（1）右旋操作
/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
/* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
BiTree L;
L=(*P)->lchild; /* L指向P的左子树根结点 */
(*P)->lchild=L->rchild; /* L的右子树挂接为P的左子树 */
L->rchild=(*P);
*P=L; /* P指向新的根结点 */
（2）左旋操作
/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0 */
void L_Rotate(BiTree *P)
BiTree R;
R=(*P)->rchild; /* R指向P的右子树根结点 */
(*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
R->lchild=(*P);
*P=R; /* P指向新的根结点 */
左平衡旋转处理的函数代码：
#define LH +1 /* 左高 */
#define EH 0 /* 等高 */
#define RH -1 /* 右高 */
/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
BiTree L,Lr;
L=(*T)->lchild; /* L指向T的左子树根结点 */
switch(L->bf)
/* 检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
case LH: /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */
(*T)->bf=L->bf=EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH: /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */
Lr=L->rchild; /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */
switch(Lr->bf)
/* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
case LH: (*T)->bf=RH;
L->bf=EH;
break;
case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
break;
case RH: (*T)->bf=EH;
L->bf=LH;
break;
Lr->bf=EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */
R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */
右平衡旋转处理的函数代码：
/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void RightBalance(BiTree *T)
BiTree R,Rl;
R=(*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */
switch(R->bf)
/* 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
(*T)->bf=R->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH: /* 新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
Rl=R->lchild; /* Rl指向T的右孩子的左子树根 */
switch(Rl->bf)
/* 修改T及其右孩子的平衡因子 */
case RH: (*T)->bf=LH;
R->bf=EH;
break;
case EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
break;
case LH: (*T)->bf=EH;
R->bf=RH;
break;
Rl->bf=EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild); /* 对T的右子树作右旋平衡处理 */
L_Rotate(T); /* 对T作左旋平衡处理 */
三、平衡二叉树的调整
以上是关于大话数据结构之查找的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章