第三大题的应用题第一题 ①堆排序方法从小到大排序是啥意思？是要用小顶堆么？②重建堆是啥？

Posted 2023-04-08

第三大题的应用题第一题
①堆排序方法从小到大排序是什么意思？是要用小顶堆么？②重建堆是什么？本题答案怎么写

【概念】堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]]>=A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。【起源】1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(RobertW．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了著名的堆排序算法（HeapSort)。【简介】堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。（1）用大根堆排序的基本思想①先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区②再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。……直到无序区只有一个元素为止。（2）大根堆排序算法的基本操作：①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2)其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)[2]注意：①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止【特点】堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录【算法分析】堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。平均性能：O(N*logN)。其他性能：由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前和排序后他们的相对位置不发生变化）。 参考技术A 安大数据结构期末题吗？这题就是要建大顶堆，我刚开始看答案也以为答案错了。但是你看严蔚敏数据结构的书第281页有这么一句话：使记录序列按关键字非递减有序排列，则在堆排序的算法中先建一个“大顶堆”。重建堆是指选大顶堆的最顶层的最大数与序列中最后一个数交换，然后再重新调整为大顶堆的过程

算法：堆排序

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堆排序可归纳为两个操作：

1）建堆：根据初始数组去构造初始堆（构建一个完全二叉树，保证所有的父结点都比它的孩子结点数值大）。

2）调整堆：每次交换第一个和最后一个元素，输出最后一个元素（最大值），然后把剩下元素重新调整为大根堆。 当输出完最后一个元素后，这个数组已经是按照从小到大的顺序排列了。调整堆的过程是：比较节点i和左右节点，选出三者最大的，如果是孩子节点，那么交换；并继续比较。

建大根堆：buildMaxHeap(a[])

从A.length / 2一直到根结点进行堆调整。

堆调整：adjustHeap(a[], parent, length)；

• 定义左孩子child = 2 * parent + 1；tmp保存父节点；
• 当child < length 的时候：
  • 如果有右孩子并且右孩子大于左孩子，则选取右孩子；（选择孩子中较大的；）
  • 如果父节点值>孩子节点 break；（父>子，调整完毕；）
  • 孩子节点的值赋给父节点；（调整父和孩子；）
  • 孩子index赋给父index；并继续child的孩子index赋给孩子index（继续向下调整；）
• tmp赋给最后的父节点；（找到调整值得最终位置；）

堆排序：heapSort(a[])

• 建最大堆；
• for(i=n-1)循环n-1次，交换首尾；adjustHeap(a, 0, i)；

辅助交换：swap(a[], i, j)

 

参考代码：

public class Solution {
    /**
     * @param A an integer array
     * @return void
     */
     //堆排序
    public void sortIntegers(int[] a) {
        if (a.length == 0) return;
        buildMaxHeap(a);
        for (int i = a.length - 1; i > 0; i--) {
            swap(a, i, 0);
            adjustHeap(a, 0, i);
        }
    }
    
    public void buildMaxHeap(int[] a) {
        for (int i = a.length/2; i >= 0; i--) {
            adjustHeap(a, i, a.length);
        }
    }
    
    
    public void adjustHeap(int[] a, int parent, int length) {
        int tar = a[parent];
        int child = parent * 2 + 1;
        while (child < length) {
            if (child + 1 < length && a[child] < a[child + 1]) child++;
            if (a[child] < tar) break;
            a[parent] = a[child];
            parent = child;
            child = child * 2 + 1;
        }
        a[parent] = tar;
    }
    
    public void swap (int[] a, int i, int j) {
        int tmp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = tmp;
    }
    
}

 

• adjustHeap(a, parent, length)：
  • tar值保存a[parent]；定义child；
  • 当chile<length：
    • 获取左右孩子中较大的：若存在右孩子且大于左孩子则child++；
    • 比较child和tar：若已经满足[tar]>[child]则break；
    • child值赋给parent：注意这里是赋值而不是swap；
    • 继续向下调整：parent变化，child变化；
  • tar值赋给最终的a[parent]；
• buildMaxHeap(a)：
  • for(i=a.length/2; i>=0)，adjustHeap(a,i,a.length)；注意参数是length；循环范围是[0,a.length/2]；
• heapSort(a)：
  • 判断空return；
  • 建堆buildHeap(a)；
  循环n-1次调整堆for(i=a.length-1; i>0)； 循环范围是(0,length-1]n-1次；
  • swap(a,i,0)；
  • adjustHeap(a,0,i) length的范围是[0,n-1]也就是i；
• swap(a[],i,j)；

 

参考：堆排序

测试数据：LintCode--Sort Integers 

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