小样本大概率事件的正确处理方式 - 1. 概率的含义和误差产生的原因

Posted 2022-11-25 EZhex1991

问题描述

在很多时候——特别是在游戏中——我们经常需要对某一事件进行随机触发处理，例如：攻击有几率触发暴击，怪物有几率掉出装备，武器有几率强化失败。通常我们的做法就是，从0~1中取随机数，然后判断是否大于给出的几率（实际上大多数时候为了计算效率会用0~100的随机整数）。

当我们从整个游戏世界上去统计这个随机事件时，无论这个概率是小概率还是大概率，得到的结果与我们的期望都不会有很大的差别。但是从单一玩家的角度，或者是某一短时间段的角度去统计这个事件时，对于结果的直观感受会有很大的波动性——换句话说，得到的实际概率往往并不是我们所想要的概率。

实际上从概率论的角度能给出非常合理的解释，期望方差标准差啥的一套公式概念拿出来，似乎就“原来如此”了。但是我们要的是直观的解释和合理的算法，而不是一堆晦涩难懂的公式概念。

问题分析

举个栗子：
玩家在攻击时有30%的几率触发暴击。从游戏世界中统计一个大样本，得到的触发概率基本不会与预期有很大的差别。但是对于一个玩家十次攻击的结果来说呢？

从上图模拟能很明显看到，对于一个小样本模拟，其概率与我们的期望相差甚远。你完全能够脑补出玩家在心中反复念叨的“我擦，这人品”。事实上，0/10或者10/10这样的样本，在独立随机事件中是完全合乎逻辑的。初中课本上就出现过的概念：对于独立随机事件，任何一次事件都不会影响到另一次事件的发生。

煎蛋一菊花的解释就是：概率值的本质上是对一个样本中某个特定事件的统计计算结果，而并非对某一事件是否发生的约束条件。样本和事件是前提，概率才是结果，反过来从某一统计概率上去预测样本事件的发生情况，并不能得到我们所想要的结果（所以彩票预测和股票周四会涨啥的完全就是扯淡）。

从心理感官方面，如果是一个概率非常小的事件，我们并不会从小样本上去分析，千分之一的概率在一百次中出现一次以上的概率太小，而在一千次中没有一次出现，或者出现了两次，看起来都并没有什么奇怪。所以我们需要解决的，是“小样本大概率事件”在程序中的逻辑优化。

解决方案

首先，我们有一个随机概率P，要让其在样本数量S中体现出来，我们必须将事件触发的次数限制为P*S。也就是说，我们需要将S次样本大小为1的发生概率为P的独立重复随机事件，变成一次样本大小为S的，触发次数为P*S的事件，从而把该样本的统计概率约束在P。

但是，作为一个合理的随机事件，“随机”是必须存在一定概率波动的，只是独立重复随机事件的“随机”并不可控，所以我们无法将波动控制在我们的可接受范围内。而对固定次数的事件做优化，给定一个波动值D，将触发次数变成P*S ±D中的随机数，那么就能够对该事件进行“可控随机化”了。

需求分析

初始化参数

1. 样本数量quantity；
2. 期望次数expectation；
3. 波动大小deviation；

公共接口

1. bool GetNext()：下次事件是否触发；
2. void Reset()：重新计算随机事件；
3. void Reset(int deviation)：以给定的波动值重新计算随机事件；

逻辑流程

1. 以expectation和deviation得出一个随机数作为样本中触发事件数量count；
2. 从0到quantity中取count个随机数保存到selection[]；
3. 每次用GetNext()取结果时，样本编号加一（如果超过样本数量，则重新计算），判断该样本编号是否存在于selection[]中，存在则返回true；

代码编写（可略过不看）

逻辑优化：对于判断当前样本是否为触发点，即样本编号是否在selection中，可以对selection进行排序后进行判断；

/*
 * Author:      熊哲
 * CreateTime:  5/14/2017 2:20:04 PM
 * Description:
 * 
*/
using System.Text;
using UnityEngine; // 只用了unity引擎的Random，非unity环境改掉就行

public class RandomTrigger

    public int quantity  get; private set; 
    public int expectation  get; private set; 
    public int deviation  get; private set; 

    public int sampleIndex  get; private set; 
    public int triggerIndex  get; private set; 
    public int[] triggers  get; private set; 

    public RandomTrigger(int quantity, int expectation, int deviation = 0)
    
        this.quantity = quantity;
        this.expectation = expectation;
        this.deviation = deviation;
        Reset();
    

    public void Reset()
    
        sampleIndex = 0;
        triggerIndex = 0;
        int count = Random.Range(expectation - deviation, expectation + deviation + 1);
        if (count < quantity)
        
            triggers = RandomSelect(quantity, count);
            Sort(triggers, 0, triggers.Length);
        
        else // 触发次数大于样本数量，必定每次都会返回true
        
            triggers = new int[quantity];
        
    
    public void Reset(int deviation)
    
        this.deviation = deviation;
        Reset();
    
    public bool GetNext()
    
        // 重新取样
        if (sampleIndex >= quantity) Reset();

        // 触发次数大于样本数或者是触发点则返回true；
        if (triggers.Length >= quantity || (triggerIndex < triggers.Length && sampleIndex == triggers[triggerIndex]))
        
            sampleIndex++;
            triggerIndex++;
            return true;
        
        else
        
            sampleIndex++;
            return false;
        
    

    // 从0~amount中得到count个不重复的随机数
    protected int[] RandomSelect(int amount, int count)
    
        int[] array = new int[amount];
        int[] result = new int[count];
        for (int i = 0; i < count; i++)
        
            int left = amount - i;
            int random = Random.Range(0, left);

            if (array[random] > 0)
            
                result[i] = array[random];
            
            else
            
                result[i] = random;
            

            if (array[left - 1] == 0)
            
                array[random] = left - 1;
            
            else
            
                array[random] = array[left - 1];
            
        
        return result;
    
    // 快速排序算法
    protected void Sort(int[] array, int left, int right)
    
        if (left < right)
        
            int low = left;
            int high = right - 1;
            int key = array[low];
            while (low < high)
            
                while (array[high] > key)
                    high--;
                Swap(array, low, high);
                while (array[low] < key)
                    low++;
                Swap(array, low, high);
            
            Sort(array, left, high - 1);
            Sort(array, high + 1, right);
        
    
    // 数组元素交换
    protected void Swap<T>(T[] array, int index1, int index2)
    
        T temp = array[index1];
        array[index1] = array[index2];
        array[index2] = temp;
    

    public override string ToString()
    
        StringBuilder str = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < triggers.Length; i++)
        
            str.Append(triggers[i] + " ");
        
        return str.ToString();
    

结果验证

对于每次判断某概率是否发生，所得的概率与取样数量的关系曲线会在期望值上波动，并且波动幅度并不受控制，误差也很大。
而修正后的算法，波动会有所减小并且可控，如果波动值为0，每当样本数量是某一值的倍数时，概率会修正到期望值（详见小样本大概率事件的正确处理方式 - 2. 结果分析）。

注意事项

• 任何概率性事件都可以使用该方法进行概率约束，并不仅限于小样本事件。
• 在该约束下3/10与6/20会稍有不同，最明显的区别是取样20，前者连续触发最高为6次，而后者最高为12次（前一次触发集中于最后而后一次触发集中于最前）。
• 该文章的算法只是为了方便读者理解概念，不应该在实际工作中应用。

小样本大概率事件的正确处理方式 - 2. 结果分析
小样本大概率事件的正确处理方式 - 3. 实际使用