动态规划——01背包

Posted 2022-11-25 做一个AC梦

给定n种物品，每种物品的重量和价值分别为w_i和v_i,每种物品都只有一个。另外，背包容量为W。求解在不超过背包容量的情况下将哪些物品放入背包，才可以使背包中的物品价值之和最大。每种物品只有一个，要么不放入(0),要么放入(1),因此被称为01背包。

状态表示：c[i][j]表示将前i种物品放入容量为j的背包中所获得的最大价值。

对于第i种物品的两种处理状态：

• 不放入：放入背包的价值不增加，问题会转化为“将前i-1种物品放入容量为j的背包获得的最大价值”，最大价值为从c[i-1][j].
• 放入：问题转化为“将前i-1种物品放入容量为j-w[i]的背包活得的最大价值”,此时获得的最大价值就是c[i-1][j-w[i]]，再加上放入第i种物品获得的价值v[i]，总价值为c[i-1][j-w[i]]+v[i].

算法实现

for(int i=0;i<n+1;i++)
    for(int j=1;j<w+1;j++)
        if(j<w[i])
           c[i][j]=c[i-1][j];
         else
           c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+v[i]);
 cout<<“放入背包的最大价值为：”<<c[n][w]<<endl;          

算法优化

void dynamic(int n,int W)
	for(int i=1;i<n+1;i++)
		for(int j=W;j>w[i]-1;j--)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);